《第2章 参数方程 2-4》课件

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1、§2-4平摆线和渐开线《第2章参数方程2-4》课件一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作________(或旋轮线)．当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M到达最高点_________，再滚动半周，点M到达_________，这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱．圆滚动一周时，平摆线出现一个周期．平摆线上点的纵坐标最大值是____，最小值是___，即平摆线的拱高为____．1.平摆线定义平摆线(πr，2r)(2πr，0)2r02r平摆线轨迹的参数方程把一条没有弹性的细绳绕在一个固

2、定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线，这条曲线叫____________，这个圆叫作渐开线的_____．2．3．渐开线定义圆的渐开线基圆4．【思维导图】【知能要点】1．平摆线，平摆线的参数方程．2．圆的渐开线，渐开线的参数方程．题型一平摆线在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解“一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思．如图所示，假设圆周上定点M的起始位置是圆与定直线的切点O，圆保持与定直线相切向右滚动，点M就绕圆心B作圆周运动．如果点M绕圆心B转过φ弧

3、度后，圆与直线相切于A，那么线段OA的长等于AM的弧长，即OA＝rφ；点M绕圆心B运动一周回到切点的位置E，那么OE的长恰等于圆周长．这就是所谓“无滑动地滚动”的意思．从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过程中，圆周上定点M的位置可以有圆心角φ惟一确定，因此以φ为参数是非常自然的．摆线的参数方程也不能化为普通方程．已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程．解　根据圆的摆线的参数方程的表达式【例1】【反思感悟】本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x和y的值，再计算r的值；或者在

4、求出cosφ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面．分析　首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积为16π，再代入渐开线的参数方程的标准形式即可得圆的渐开线的参数方程．解　首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线的参数方程是1．渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上动点所满足的几何条件，建立渐开线参数方程的关键是将“切线BM的长就是AB的长”用坐标表示出来．渐开线的参数方程不能化为普通方程．题型二圆的渐开线【例2】【反思感悟】对渐开线的参数方程要理解其中字母的含义，r是

5、基圆的半径，φ是参数．写出半径为2的基圆的渐开线参数方程．2．【例3】分析　首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A、B对应的参数代入参数方程可得对应的A、B两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A、B之间的距离．.【反思感悟】对于参数方程给出的曲线上点，可以求出点的坐标，转化为两点间的距离问题．3．答案x2＋y2＝4(2，0)(π，2)1．2．答案D已知一个圆的平摆线过一定点(2，0)，请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程．3．