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1、第二讲：参数方程曲线的参数方程？救援点投放点一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？如图，建立平面直角坐标系。因此,不易直接建立x,y所满足的关系式。x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度，由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之
2、间有什么关系？t时刻，水平位移为x=100t，离地面高度y，即：y=500-gt2/2，物资落地时，应有y=0，得x≈10.10m；即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s，因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是
3、没有明显实际意义的变数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。例1:已知曲线C的参数方程是（t为参数）(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上．把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以解得t=2,a=9所以，a=9.练习：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速g
4、=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）x=100t=1000,t=10,y=gt2/2=10×102/2=500m.练习1、曲线与x轴的交点坐标是()BA(1，4)；B(25/16,0)C(1,-3)D(±25/16,0)2、方程所表示的曲线上一点的坐标是()DA(2，7)；B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1，0)3已知曲线C的参数方程是点M(5,4)该曲线上.(1)求常数a;（2）求曲线C的普通方程(1)由题意可知:1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；代入第二个方程得:y=(x-1)2/44动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分
5、别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程.解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得A一个定点B一个椭圆C一条抛物线D一条直线DABCD5下列在曲线上的点是()B（4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程.参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y);（2）选取适当的参数;（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式;圆的参数方程yxorM(x,y)圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，怎样刻画运动中点的位置呢？那么θ=ωt.设
6、OM
7、=r，那么由三角函数定义，有如果
8、在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x,y)，即这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程参数t有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有圆心为原点半径为r的圆的参数方程.其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度圆心为，半径为r的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,(x+1)2+(y-3)2=1∴参数方程为(θ为参数)例1已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。练习：例2如图,圆O
9、的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ解：设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).由中点坐标公式可得因此，点M的轨迹的参数方程是例3已知x、y满足,求的最大值和最小值．解：由已知圆的参数方程为2点P(x,y)是曲线为参数)上任意一点，则的最大值为()A1B2CD练习1P(x,y)是曲线(α为参数)上任意一点,则的最大值为()AA．36B．6C．26D．25D3圆的圆心
