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1、数学软件期末论文插值和拟合在水流流量计算中的运用摘要在解决实际问题的生产（或工程）实践和科学实验过程中，通常需要通过研究某些变量之间的函数关系来帮助我们认识事物的内在规律和本质属性，而这些变量之间的未知函数关系又常常隐含在从验、观测得到的一组数据之中。因此本文根据实际中一个水流的流量计算问题,采用插值和拟合的方法对原始数据进行探究,最后得到拟合函数（系数）方程。我们先分别采用Lagrange插值、分段线性插值和三次样条插值等一维插值法分析比较后，得出三次样条插值最合适估计水流的流量；再对结果进行曲线拟合求解，根据最小二乘原理，分别用3次和5次拟合多项式逼近，仔细比
2、较后，3次拟合效果最佳。整个模型求解程序均是在MATLAB7.1中运行的。关键词:插值拟合最小二乘法方差分析1709统计一班20093370马宏发数学软件期末论文目录一.插值分析法11.1拉格朗日多项式插值11.2分段线性插值法21.3三次样条插值21.4一维插值法总结5二.曲线拟合52.1最小二乘法拟合法5三．数值实验63.1实例测试63.2题设假设：63.3实例解答6四、模型检验13五、总结14参考文献14附件151709统计一班20093370马宏发数学软件期末论文一.插值分析法插值的定义：求过已知有限个数据点的近似函数的方法。常用的插值法：拉格朗日多项式插
3、值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite插值和三次样条插值。本文主要分析拉格朗日多项式插值、分段线性插值、三次样条插值。1.1拉格朗日多项式插值：已知函数在区间上的n+1个结点处的函数为(i=0,1,…n)，若存在简单函数,使得(i=0,1,…n)成立,就关于节点的插值函数,点称为差值节点,包含差值节点的区间[a,b]称为插值区间，而称为被，求插值函数插的方法称为插值法。若是一个次数至多为n次的项式,即,为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若为分段的多项式,就是分段差值。n次多项式有n+1个待定系数，由插值条件恰好给出n+1个方程(1)先构造一
4、组基函数（2）显然是n次多项式且满：称n次多项式称n次多项式为节点上的n次插值基函数。设（3）多项式（3）称为n次拉格朗日(lagrange)插值多项式，函数称为拉格朗日插值基函数。特别地，当n＝1，2时，n次拉格朗日(lagrange)插值多项式即为线性差值多项式和抛物插值多项式。1.2分段线性插值法1709统计一班20093370马宏发数学软件期末论文假设区间[a,b]的连续函数g(x)在n+1个节点上的函数值。则得到xy平面上的n+1个数据点。连接相邻数据点，得到n条线段，它们组成一条折线。把区间[a,b]上这n条折线段表示的函数称为被插值函数g(x)关于这
5、n+1个数据点的分段线性插值函数，记作I(x)具有如下性质：1）I(x)可以分段表示，在每个小区间上，它是线性函数，即1）2）3）在[a,b]上连续。若构造插值函数因则当g(x)在[a,b]上连续时，分段线性插值函数I(x)具有良好的收敛性，即而且当g(x)在[a,b]上二阶导数连续时，对于任意有其中用计算x点的插值时，只用到x左右的两个节点，计算量与节点个数n+1无关。但n越大，分段越多，插值误差越小。实际上用数据点作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。+1.3三次样条插值分段线性插值不光滑，这影响了它在某
6、些工程技术实际问题中的应用。例如：在船体、飞机等外形曲线的设计中，不仅要求曲线连续而且还要求曲线的曲率连续，这就要求插值函数具有连续的二阶导数。为解决这一类问题，就产生了三次样条插值。从数学上加以概括，可得到样条函数的定义如下：三次样条函数记作，，满足：①在每个小区间是三次多项式。②在每个内节点上具有二次连续导数。1709统计一班20093370马宏发数学软件期末论文③由三次样条函数中的条件①知，有个待定系数。由条件②知，在个内节点上具有二阶连续导数，即满足条件：共有个条件。由条件③，知，共有个条件。因此，要确定一个三次样条，还需要外加个条件，最常用的三次样条函数
7、的边界条件有两类：第一类边界条件：第二类边界条件：特别地，,称为自然边界条件。第三类边界条件：称为周期边界条件。三次样条插值不仅光滑性好，而且稳定性和收敛性都有保证，具有良好的逼近性质。样条插值函数的建立。构造满足条件的三次样条插值函数的表达式可以有多种方法。下面我们利用的二阶导数值表达，由于在区间上是三次多项式，故在上是线性函数，可表示为（5）其中对积分两次并利用及，可定出积分常数，于是得三次样条表达式（6）上式中是未知的，为确定，对求导得（7）由此可得。同样求出在区间上的表达式，从而得1709统计一班20093370马宏发数学软件期末论文利用可得（8）其中；；
8、（9）对第
