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《高等数学竞赛辅导综合题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高等数学综合练习题1、设，满足：证明：收敛，并求分析：用数列通项表示的这种类型题目，往往要用单调有界必有极限这个定理来解决，因此先要用不等式技术证明单调且有界。证明:（1）证明：易见，则，从而有：，故单调减少，且有下界。所以收敛。（2）设，在两边同时取极限得解之得，即。2、设在的邻域具有二阶导数，且，试求，及.分析：这种类型的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。再根据分式极限为常数而分母极限为零，得到分子极限为零。另外求一点的导数往往要用定义。解由得24，因为分母极限为零，从而分子极限为零，即，可以得到，同样，我们有，由导数的定义得。因为在的邻域具有二阶导数，由泰勒公式得）两边取极限得
2、，故。3、设，且在满足：，有（为常数）。证明：在有界。证明：由条件知，，有，则，从而24，故在有界。4、设函数且f¢¢(0)存在,试确定常数a,b,c.分析：这是一个分段函数，分段函数在分段点的导数要用定义求。解：由条件可知函数在处连续,故。由条件可知在处连续,且,故。因此从而，故，则。5、设当时,可微函数满足条件，且，试证:当时,有成立.分析：这是一个积分微分方程，可以通过两边求导变成一个微分方程，然后求解。证明:设由题设知,则所给方程可变形为.两端对x求导并整理得，这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得.由得,,可见单减.24而,所以当时,。对在上进行积分得.6、计算三重
3、积分。其中是椭球体。分析：计算二重积分和三重积分是数学竞赛和考研的基本内容，这种题目都是将重积分化成累次积分，而累次积分的关键是要确定出每个积分的限，确定积分的限一定要根据所给积分的图形区域，因此正确画出图形或者是想象出图形是解决问题的关键。解：由于，其中，这里表示椭球面或。24它的面积为。于是。同理可得，。所以。7、讨论积分的敛散性。分析：积分敛散性的讨论是数学中的一个难点，要用不等式技术和一些重要结论，其中Cauchy收敛准则起作很大的作用。解：首先注意到。若，则当充分大时，，从而当充分大时，函数是递减的，且这时。又因（对任何），故收敛。若，则恒有，故函数在上是递增的。于是，正整数
4、，有24常数，故不满足Cauchy收敛准则，因此发散。8、设在上二阶可导，求证：使.分析：罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理是高等数学的重要内容，往往也是研究生考试和数学竞赛的命题的重点。平时练习时，采用多种方法去解决，能有效地提高解题能力。这种题目难点是构造出一个合适的函数。证1令则由洛尔定理知,,由洛尔定理知证2令由拉格朗日定理知由洛尔定理知证3在展开为一阶泰勒公式因故24证4令,用两次洛尔定理。证5令,用一次洛尔定理。9、设f在上可微，且a与b同号，证明：存在，使（1）；（2）.证：（1）令，显然在上满足Cauchy中值定理的条件，所以，即.（2）令，显然在上满足Cauchy中
5、值定理的条件，所以，即10、设二阶可微，，证明：存在，使.证明：令，则。显然在上满足Rolle定理的条件，从而，使.又，于是在上满足Rolle定理的条件，故，使，即存在，使.11、设是定义在上的函数，.且证明：在上可导，且.24分析：由于已知条件：是一个很广的条件，要充分利用它；另外要用导数的定义。证明：由已知条件得.因为。所以在上可导，且.12、设，且，证明：.分析：从结论可以看出，绝对值里面刚好是，因此容易想到先求的导数。再用导数的定义。证明：因为，所以又，所以.即。13、设f在上二阶可微，，，则方程在内至少有一个根.分析；24方程在一个区间有根的问题往往要用零点存在定理去判断，因
6、此验证该方程在两端点值的符号是解决问题的关键。证明：因为，不妨设，因，故，使，从而，使。因，故，使，从而，使得。又因在上可微，所以在上连续，由零点存在定理知，，使.于是在及上分别利用Rolle定理得，存在，使得..再在上用Rolle定理得，，使.即方程在内至少有一个根.14、（浙江师范大学2004）设在上具有二阶导数，且满足条件，，其中都是非负常数，是内的任一点，证明。分析：如果函数高阶可导，并给定了函数的导数或函数的值，要求估计一个函数的界，往往要用Taylor展开式。证明：因在上具有二阶导数，故存在使得同理存在使得24将上面的两个等式两边分别作差，得即因此而，故。15、设.证明：，
7、使.证明：将在点处展开泰勒公式，得（在与之间）令得.令得.因为，所以.令，则，24代入，得.16、（2003高数一）将函数展开成的幂级数，并求级数的和.分析：给定的函数是一个反正切函数不能直接展开，由于它的导数是一个分式函数，可以展开，因此可以考虑先求导数。解：因为又f(0)=,所以=因为级数收敛，函数f(x)在处连续，所以令，得,再由，得17、（2003高数一）设函数f(x)连续且恒大于零，，，24其中，(1)讨论F(t)在区间内的单调性.(
