高等数学竞赛冲刺试题二辅导

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1、冲刺卷21.求。解：由于当时，原式2.设，，求。解：设，由于设，则有故3.设，求的定义域。解：当，由于，故不存在。第9页共9页冲刺卷2当，由于是有界函数，而是无穷小，故。当，当充分大时会有，故没有定义。因此的定义域为。解：5.设函数在有定义，且与在上都是单调增函数，证明在上连续。证明：设，对，由于与在上都是单调增函数、故有因此得即由于故同理，对，有第9页共9页冲刺卷2由此可得因此即在点处连续，由的任意性，在上连续。6．设是连续函数，且，其中，求函数。解：设，则有即，7.已知函数，求与轴所围成的图形面积。解：

2、当，当时，有两根和8、设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。解：解微分方程得其通解为任意常数又因为通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2，于是可得从而于是，所求非负函数又由可得，在第一象限曲线表示为第9页共9页冲刺卷2于是D围绕轴旋转所得旋转体的体积为，其中9.记，求。解：，设，则故有由于故得10.计算　解：由于第9页共9页冲刺卷211.计算曲线积分，其中C是曲线上由到的一段。解：取弧:（是很小的正数）13.是一六次多项式，已知曲线与轴切于原点

3、，且以为拐点，又在有水平切线，则解答:因为为拐点，故有因式,由于此二点处有水平切线，故有因式第9页共9页冲刺卷2，因此有因式，又曲线与轴切于原点，故有因式，因此设，将代入,得,将代入,得14.设，判别级数的敛散性。解：故当时,级数收敛当，记且利用()由此有故此时级数发散。15.设函数在上二阶可导，且，又，证明：在内至少有一点满足。证明：令由拉格朗日中值定理，使由于故同理故因为在上连续，故在有最大值，第9页共9页冲刺卷2即使由于，有故，在内可导，故有，即由于而，故因此有，。16.设在上有连续导数，且，，试利用

4、变上限的积分证明：。证明：设令，由，故因此，故，即令，有17.已知函数在连续，且，试证：（1）若为奇数，则存在实数，使；（2）若为偶数，则存在实数，使对一切，有。证明：令，则在连续。（1）当为奇数，由已知条件，有故，使，即；（2）当为偶数，由已知条件，有第9页共9页冲刺卷2故对，存在，当时，总有因为在上连续，故在上取得最小值，即，使对一切，有；由于，故对一切，有；即18.设试将的定义域扩充到，使处处连续且在上的图形是以为对称轴的抛物线。解：由题意，在有因为在连续，，故有因为在连续，，故有解得，故19、设有椭

5、圆抛物面和平面．第9页共9页冲刺卷2试给出和相交的充要条件．解：与相交，当且仅当方程有无穷多个解．将第一个方程代入第二个方程，整理得，该方程有无穷多组解，当且仅当，或，此即为与相交的充要条件．20、证明：（1）；（2）．证（1）由，．令得．（2）于是．第9页共9页