2017届高三上学期期末测试数学（理）备考黄金30题：专题06 大题易丢分

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1、（范围：高考范围）1．为了了解学生的体能情况，抽取了某学校同年级部分学生作为样本进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第四小组的频数为10．（1）求样本容量；（2）根据样本频率分布直方图，估计学生跳绳次数的中位数（保留整数）．【答案】（1）；（2）106.【解析】考点：频率分布直方图.2．已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集，：，：．（1）若，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围．【答案】（1）（2）版权所有：资源库www.ziyuanku.com【

2、解析】（1），．若，则必须满足解得,所以的取值范围是．考点：简易逻辑，不等式的解法3．已知数列满足.（1）若，求的取值范围；（2）若是等比数列，且，正整数的最小值，以及取最小值时相应的仅比；（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】版权所有：资源库www.ziyuanku.com由题得，.由题得，，且数列是等比数列，，∴，，.又由已知，∴，又∴的最小值为，此时，即考点：解不等式（组），数列的单调性，分类讨论，等差（比）数列的前项和.4．已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若在区间上单调递增，试求的取值或取值范围．

3、【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.【解析】（1）当时，，∴，令，则，、和的变化情况如下表：版权所有：资源库www.ziyuanku.comZiyuanku.com单调递增极大值单调递减极小值单调递增即函数的极大值为，极小值为；考点：1、利用导数求函数极值；2、利用导数研究函数单调性．5．已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，且取得最大值时，设版权所有：资源库www.ziyuanku.com，且函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：．【答案】（Ⅰ）当时，函数的单调增区间为，无极值，当时，函数的

4、单调减区间为，增区间为，极小值为；（Ⅱ）；（Ⅲ），证明见解析.【解析】（Ⅰ）当时，恒成立，函数的单调增区间为，无极值；当时，时，，时，，函数的单调减区间为，增区间为，有极小值。（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得，，，即当时，最大为1。版权所有：资源库www.ziyuanku.com则，欲证，只需证明：，只需证明：，即证：，即证，设，则只需证明：，也就是证明：记，，在单调递增，版权所有：资源库www.ziyuanku.com，所以原不等式成立，故得证.设，则化简可得，所以函数在单调递增，时，，，又因为，且函数在单调递减，，，即，所以成立.考点：导数与单调性、极值，函数与零点

5、.6．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若,且的面积为,求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.版权所有：资源库www.ziyuanku.com【解析】考点：（1）正弦定理和余弦定理；（2）三角形面积计算公式.7．已知椭圆的方程为，左、右焦点分别为，焦距为4，点是椭圆上一点，满足，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）【解析】版权所有：资源库www.ziyuanku.com（2）显然直线的斜率存在，设直线方程为，，，由得，即，，，由得，，又，，则，，，那

6、么，则直线过定点版权所有：资源库www.ziyuanku.com考点：椭圆的简单性质；余弦定理8．如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆（）的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．当直线斜率为时，．（1）求椭圆的标准方程；Ziyuanku.com（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．【答案】（1）；（2）过定点，证明见解析．【解析】版权所有：资源库www.ziyuanku.com（2）以为直径的圆过定点．下面给出证明：考点：1、椭圆的方程；2、椭圆的几何性质；3、圆的方程；4、直

7、线的方程．9．在四棱锥中，底面为正方形，底面，为棱的中点．版权所有：资源库www.ziyuanku.com（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）【解析】（1）证明：因为底面，所以，Ziyuanku.com因为，所以面，由于面，所以有；版权所有：资源库www.ziyuanku.com考点：1．直线与平面所成的角；2．空间向量在立体几何中的应用．10．已知函数,且函数在处的切线平行于直线.（1）求实数的值;（2）若在上存在一点,使得成立.求

8、实数的取值范围.版权所有：资源库www