王新磊高三数学理培优辅导试题（2）二数列不等式综合问题

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1、（二）数列不等式综合问题1.已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1)求证：；(2)求证：2.在数列中，，（1）求证：数列为等差数列，并求的通项；（2）若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设数列，的前项和为，求证：。3.对，不等式组所表示的平面区域为，内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列。（1）求、；（2）数列满足，且时，。证明：当时，；（3）在（2）的条件下，试比较与4的大小关系4.设函数的图象在处的切线平行于直线。记的导函数为，数列满足：,。（1）求函数的解析式；（2）试判断数列的增减性,并给出证明；（3）当时，

2、证明:。5.已知函数，数列满足6，且.(1)设，证明：；(2)设(1)中的数列的前项和为，证明.6.已知数列、中，，，。（1）证明：是等差数列并求出数列的通项公式；（2）设，证明：对任意的正整数、，均有；（3）设数列的前项和为，证明：。1.解:（1）在条件中，令，得，∵∴又由条件有，上述两式相减，注意到得∵∴∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2.解:2.（1）由得：6又，∴数列是首项为1，公差为3的等差数列∴，即：（2）∵对任意的整数恒成立，即恒成立∴对任意的整数恒成立设，则∴当时，为递增数列∴所以的取值范围为：（3）由，得所以，3.解:（1）作出平面区域（

3、略）（2分）由解得：（4分）（2）当时，∴（5分）6∴∴（6分）（3）由（2）得：当时，，且，（7分）∴当时，（8分）当时，综上述：4.解:（1）∵函数的导函数为，由于在处的切线平行于，∴解出：即（2）由得,即∵,故由知,∴,故是单调递增.(3)∵∴=即∴,,…∴=6而当时,∴5.(1)证明：∵即.∴∵∴∴.（2）∴.评注：本题利用放缩法将函数、数列和不等式巧妙结合，对综合应用能力要求较高；在考查个体思维的同时，对整体理性思维的考查达到了一定的深度和广度，合理应用放缩法可以锻炼和培养学生综合应用能力和严密的逻辑思维能力.6（1）(常数)而所以是以为首项，为公差的

4、等差数列，∴，即（3）∵∴当时，，即，当时，，即，所以又因为时，，并且，所以所以对任意的正整数、，均有6（2）解法一：设函数，则，故，即所以，即所以，所以，即解法二：①当时，，显然满足题意②假设当时，，所以当时，，所以要证只需证明，令，由，则知即在上单调递减，∴，即所以，故当时，命题成立，综上所述，对一切，都有6