数理逻辑课本答案

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1、第一章命题逻辑的基本概念作业1.1判断下列语句是否是命题，并对命题确定其真值：(1)火星上有生命存在.(2)12是质数。(3)香山比华山高。(4)x+y=2。(5)这盆茉莉花真香！(6)结果对吗？(7)这句话是错的。(8)假如明天是星期天，那么学校放假。解答：(1)“火星上有生命存在”是命题，但现在不能确定其真值；(2)“12是质数”是命题，其真值为假；(3)“香山比华山高”是命题，其真值为假；(4)“x+y=2”不是命题，因为含有公认是变量的东西，从而不具有确定的真值；(5)“这盆茉莉花真香！”是感叹句，因而不是命题；(6)“结果对吗？”是疑问句，因而不是命题；(7)“这句话是错的”是

2、语义悖论，因而不是命题；(8)“假如明天是星期天，那么学校放假”是命题，其真值为真。点评：实际上，确定一个具体命题的真值不是数理逻辑研究的内容，但是不能说一个命题没有真值。作业1.2令p表示今天很冷，q表示正在下雪，将下列命题符号化：(1)如果正在下雪，那么今天很冷。(2)今天很冷当且仅当正在下雪。(3)正在下雪的必要条件是今天很冷。用自然语言叙述下列公式：¬(p∧q)¬p∨¬qp→q¬p∨q¬¬p¬p↔q解答：(1)“如果…那么…”是典型的表蕴涵的连词，因此句子“如果正在下雪，那么今天很冷”符号化为q→p；1(2)“当且仅当”是典型的表等价的连词，因此句子“今天很冷当且仅当正在下雪”符

3、号化为p↔q；(3)“正在下雪的必要条件是今天很冷”相当于“只有今天很冷，（才）正在下雪”，也即“如果正在下雪，那么意味着今天很冷”，因此应该符号化为q→p。对于公式的自然语言叙述，我们有：(1)公式¬(p∧q)的自然语言叙述可以是：“并非今天很冷且正在下雪”；(2)公式¬p∨¬q的自然语言叙述可以是：“并非今天很冷或者并非正在下雪”，或者“今天不很冷或者没有正在下雪”；(3)公式p→q的自然语言叙述可以是：“如果今天很冷，那么正在下雪”；(4)公式¬p∨q的自然语言叙述可以是：“今天不很冷或者正在下雪”；(5)公式¬¬p的自然语言叙述可以是：“并非今天不很冷”；(6)公式¬p↔q的自然

4、语言叙述可以是：“今天不很冷当且仅当正在下雪”。点评：1.当然这种题目的答案不惟一，但是有些同学的自然叙述十分不符合汉语习惯。另外，从汉语语义来说，¬p通常不应该理解为“今天不冷”，而应正确理解为“并非今天很冷”，或者“今天不很冷”。通常，“不很冷”与“不冷”的含义并不相同。第1个公式有许多人叙述为“今天不是很冷而且没有正在下雪”，这是错误的。2.另外，对于上面将自然语言命题的符号化，不少同学将第3小题符号化为p→q，这是由于粗心所犯的错误。作业1.3将下列命题符号化：(1)他个子高且很胖。(2)他个子高但不很胖。(3)并非他个子高或很胖。(4)他个子不高也不胖。(5)他个子高或者他个子

5、矮而很胖。(6)他个子矮或他不很胖都是不对的。(7)如果水是清的，那么或者张三能见到池底或者他是个近视眼。(8)如果嫦娥是虚构的，而如果圣诞老人也是虚构的，那么许多孩子受骗了。解答：(1)令p表示“他个子高”，q表示“（他）很胖”，则句子“他个子高且很胖”符号化为p∧q；(2)令p表示“他个子高”，q表示“（他）很胖”，则句子“他个子高但不很胖”符号化为p∧¬q；(3)令p表示“他个子高”，q表示“（他）很胖”，则句子“并非他个子高或很胖”符号化为¬(p∨q)，注意，按照我对自然语言的理解，并非通常是否定后面整个句子，而非只是否定“他个子高”；(4)令p表示“他个子高”，q表示“（他）很

6、胖”，则句子“他个子不高也不胖”符号化为¬p∧¬q；(5)令p表示“他个子高”，q表示“他个子矮”，r表示“（他）很胖”，则句子“他个子高或者他个子矮而很胖”符号化为p∨(q∧r)，按照我对自然语言的理解：(i).“他个子矮”不等于“并非他个子高”，因为日常生活中还常说某个人不高也不矮呢！所以我建议用不同的符号来表示这两个原子命题；(ii).句子的结构是“…或者…而…”，按我的理解，在自然语言中“而”的优先级也比“或”高。(6)令p表示“他个子矮”，q表示“（他）很胖”，则句子“他个子矮或他不很胖都是不对的”符号化为¬(p∧¬q)。2(7)令p表示“水是清的”，q表示“张三能见到池底”，

7、r表示“他是个近视眼”，则句子“如果水是清的，那么或者张三能见到池底或者他是个近视眼”符号化为p→(q∨r)；(8)令p表示“嫦娥是虚构的”，q表示“圣诞老人是虚构的”，r表示“许多孩子受骗了”，则句子“如果嫦娥是虚构的，而如果圣诞老人也是虚构的，那么许多孩子受骗了”符号化为(p∧q)→r作业1.4针对严格符合定义的公式，使用归纳法证明公式中左园括号的数目与公式中联结词的数目相同，同样右园括号的数目也与公式中联结词的数目相同。证明对