探究含有绝对值的不等式

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1、含有绝对值的不等式问题之探究类型一：含一个绝对值符号的不等式的解法含一个绝对值符号的不等式的一般形式为或，解这种不等式我们最常用的方法是等价转化法，有时也可用分类讨论法．绝对值不等式的两类同解变形：不等式同解变形例1.解不等式．［分析］利用｜f(x)｜0)-a

2、解集.例2.解不等式.［分析］利用｜f(x)｜g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理或用分类讨论法解之.方法一：原不等式转化为或，解之得原不等式的解集为.方法二：原不等式等价于或.解之得或，即或.所以原不等式的解集为.［注］⑴.通过例2可以发现：形如，型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，用同解变形法则更为简洁．⑵.分类讨论法也可讨论而解之，这实际上是同

3、解变形法的推10导依据.类型二：含两个绝对值符号的不等式的解法含两个绝对值符号的不等式，我们常见的形式为：或，我们解这种不等式常用的方法有零点分段法和构造函数的方法，有时候也可利用绝对值的几何意义和平方法．例3.解不等式［分析］两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：

4、

5、<

6、

7、<0解：原不等式解得，故原不等式的解集为例4.解不等式．［分析］解法一　利用绝对值的几何意义（体现了数形结合的思想）．不等式的几何意义是表示数轴上与、两点

8、距离之和大于等于7的点，而、的距离之和为3，因此线段上每一点到、的距离之和都等于3，左侧的点到、的距离之和等于这点到点距离的2倍加3，右侧的点到、的距离之和等于这点到点距离的2倍加3．-34图1由图1可知：原不等式的解集为．解法二利用的零点，把数轴分为三段，然后分段考虑．把原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解（零点分段讨论法）．（1）当时，原不等式同解于；（2）当时，原不等式同解于无解；（3）当时，原不等式同解于．10综上知，原不等式的解集为．解法三通过构造函数，利用函数图像（体现了函数与方程的思

9、想）．原不等式可化为．令，则　可解得原不等式的解集为．例5解关于x的不等式［分析］原不等式可化为，一般会分类讨论去绝对值号解题，即：通常分，三种情况去绝对值符号，再分进行讨论，这样做过程冗长，极易出错根据此题特点，不妨改变一下操作程序，即原不等式两边平方，再由定义去绝对值号，则分析将十分清晰，过程也简洁得多.解：原不等式可化为，将两边平方可得：，则有：（1）；（2）.综上知，故当时，解为；当时，解为［注］形如和的含两个绝对值符号的不等式用平方法并不是很麻烦，可以通过两次平方去掉绝对值化为一般的不等式

10、，所以我们在解题的过程中要选择一个合适的方法进行求解．例6解不等式10［分析］解含有双层绝对值符号的不等式的基本思想就是一层一层的去掉绝对值，使不等式化为不含绝对值的一般不等式．常用的方法有等价转化法、零点分段法和平方法，当然利用绝对值不等式的性质求解不等式是一种比较简单的方法，但这种方法比较抽象，一般不容易想到．但本题不可以采用零点分段法，也不能采用平方法，因为平方后既含有的项，又含有的项，所以我们先把不等式进行等价转化，然后把它看成有关的一元二次不等式组进行求解．解：∴原不等式的解集为．类型三：

11、含参数的绝对值不等式的解法解含参数的绝对值不等式的思想就是首先要对参数的情况进行分情况讨论，然后分别在各种情况下对不等式进行求解，最后把各种结果综合在一起就可以得到原不等式的解．另外，有一些题也可通过转化，不进行讨论就可以轻松的解答出来．例7　解关于x的不等式［分析］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大.若化简成，则解题过程更简单.在解题过程中需根据绝对值定义对的正负进行讨论.解：原不等式等价于当即时，∴当即时，∴x¹-6当即时，xÎR［注］形如

12、

13、<，

14、

15、>()型不等式，

16、简捷解法是等价命题法，即：10例8（2004年海南卷）解关于的不等式［分析］利用，无解或，即利用绝对值的定义法求解.解：（1）当时，原不等式等价于：（2）当时，原不等式等价于：（3）当时，原不等式等价于：或或综上所述:（1）当时，原不等式的解集为：（2）当时，原不等式的解集为：（3）当时，原不等式的解集为：类型四：含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题例9（2010高考安徽卷）不等式对任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B.C.D.［分析］要使对任意实数