杆和梁结构的有限元法

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1、第2章杆和梁结构的有限元法2.1弹簧单元和弹簧系统2.2杆单元和平面桁架2.3梁单元和平面刚架2.1弹簧单元和弹簧系统1一个弹簧单元的分析2弹簧系统什么是单元特性？弹簧单元的刚度矩阵弹簧系统的总刚度矩阵弹簧单元刚度矩阵的特点例题如何求解系统的平衡方程弹簧单元的刚度方程§2.1.1弹簧单元分析弹簧是宏观力学特性最简单的弹性元件。下面以平衡弹簧系统中一个弹簧单元为研究对象进行分析。2个节点：节点位移：节点力：弹簧刚度：已知弹簧力——位移关系：弹簧力，拉伸为正—弹簧伸长考虑弹簧力学特性和节点上力平衡有：写成矩阵形式：矩阵符号形式：——弹簧单元刚度方程，单元特性§2.1.1弹簧单元分析方法

2、一：思考问题：1）k有什么特点？§2.1.1弹簧单元分析上式中：单元节点力向量单元节点位移向量弹簧单元的刚度矩阵2）k中元素代表什么含义？3）上面方程可以求解吗？为什么？§2.1.2弹簧系统分析求解一个弹簧系统：1）各单元的特性分别为：单元1：单元2：2）按两种方法装配系统特性：方法1:按节点列平衡方程分别考虑节点1，2，3的力平衡条件（总节点力与节点外载荷的平衡）：把单元特性代入，得到：§2.1.2弹簧系统分析上面方程写成矩阵形式：或（系统的有限元平衡方程）——弹簧系统的结构总刚度矩阵（总刚）——整体节点载荷列阵讨论：（1）有哪些特点和性质？（2）上面方程能求解吗？——整体节点位

3、移列阵§2.1.2弹簧系统分析系统平衡方程—节点载荷与节点总内力的平衡方法2：单元刚度方程扩大叠加a.将单元刚度方程扩大到整体规模：§2.1.2弹簧系统分析元素按总体节点序号重新排列，对号入座。要点：1、单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的力学关系。2、扩大后的单元刚度方程采用整体节点位移列阵。3、扩大后的方程中矩阵元素按对应的整体节点序号排列！b.将上面的矩阵方程叠加，得到：§2.1.2弹簧系统分析系统总节点力（内力）与节点位移的关系——系统特性。c.代入节点平衡条件，得系统节点平衡方程：注意：总刚度矩阵就是单元刚度矩阵扩大后的叠加！3)给定载荷和约束条件下的求解设边界条件为：则

4、系统平衡方程为：§2.1.2弹簧系统分析该方程展开后分为2个部分：未知量为2个节点位移和一个支反力解上面方程得：§2.1.2弹簧系统分析注意：上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求解原理和过程。§2.1.2弹簧系统分析例题1：弹簧系统已知条件：求：（a）系统总刚度矩阵（b）节点2，3的位移（c）节点1、4的反力（d）弹簧2中的力§2.1.2弹簧系统分析解：（a）各单元的刚度矩阵为：§2.1.2弹簧系统分析应用前面的叠加方法，直接得到弹簧系统的总刚度矩阵：或总刚度矩阵特征：对称、奇异、带状、稀疏§2.1.2弹簧系统分析由前面的做法，可得到

5、弹簧系统的节点平衡方程：（b）先施加位移边界条件将带入平衡方程后，第2，3方程为：§2.1.2弹簧系统分析求解得：（c)由第1，4个方程求得支反力(d)弹簧2内力（拉力）§2.1.2弹簧系统分析练习1：对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵§2.1.2弹簧系统分析§2.1.2弹簧系统分析要点回顾1、弹簧单元刚度方程的建立弹簧变形平衡2、弹簧系统的集成1）列节点平衡方程法单元特性系统节点平衡条件系统平衡方程相加系统节点平衡条件单元特性系统节点平衡方程引入系统节点平衡条件2）单元方程扩大相加法2.2.1一维等截面杆单元杆单元2.2.2二维空间杆单元如何用直接法求杆单元特性？如何用公式法导出杆单

6、元特性？什么是虚功原理？杆单元刚度矩阵的特点？什么叫坐标变换？如何对节点位移向量进行坐标变换？如何对刚度矩阵进行坐标变换？应用举例——二维桁架2.2杆单元和平面桁架§2.2.1等截面杆单元L—杆长A—截面积E—弹性模量研究一个2节点一维等截面杆单元：§2.2.1等截面杆单元应力—应变关系：——杆单元位移——杆单元应变——杆单元应力应变—位移关系：杆应变：杆应力：杆内力：杆的轴向刚度：（一）直接法导出单元特性杆单元伸长量：§2.2.1等截面杆单元轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为：比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：§2.2.1等截面杆

7、单元（二）公式法导出杆单元特性方程（虚功原理）单元上假设近似位移函数——位移模式单元上位移假设为线性多项式函数：用插值法把多项式中的待定系数转化为待定节点位移ui,uj,从而得到插值形式的假设位移函数——单元位移模式如下：上式中：§2.2.1等截面杆单元单元位移模式写成矩阵形式：注意：位移模式采用一次多项式是因为单元只有2个轴向位移分量，只能对应2个多项式系数。§2.2.1等截面杆单元单元应变：——单元应变矩阵单元应力：下面应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。§2.2