杆件结构的有限元法

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1、有限元理论与应用第一篇有限元法第一篇有限元法第二章杆件结构的有限元法当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类型钢等都属于杆件。杆件结构可分为珩杆和梁两种。和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动，因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动，因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关，而且

2、与截面形状和方位有很大关系。建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。奥运会场馆鸟巢空间立体网架工程中最简单的结构可以认为是铰支的杆件。它的性质完全类似于弹簧。弹簧系统力F与弹簧伸长量（位移）之间关系由胡克定律有式中k为弹簧的刚度，是弹簧的固有参数。它对应于力－位移图中F-关系直线的斜率。当k和力F已知时，可由下式求出弹簧伸长量弹簧力－位移间关系(4—1)2-1引言当处理比较复杂的铰支杆系统时，要确定系统在力P的作用下，节点B、C、

3、D和E处的变形。以便计算各杆件的内应力及各杆所受的轴向力，可假设整个杆件系统也具有像式(4—1)中k值一样的刚度，这样在力P的作用下各点的位移就可以用类似式(4—1)的公式计算了，不过．这时的系统刚度应采用一个矩阵来表示，即，同理，各点的位移也应采用一个矩阵来表示，即，再加上矩阵，就构成了称为对应于施加存系统上各节点力的刚度矩阵。问题：1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的？2、如何求出？3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？系统的整体刚度矩阵－求出所受外力作用下各杆件节点处的位移－计算各杆件的受力和应力ku1,F1u2,F2弹簧的作用力向量为位移向量为从而

4、这个弹簧的刚度矩阵是2x2阶的。为求出它们，将图2—4所示弹簧系统看作两个简单的系统，然后合成。一、单个弹簧的刚度矩阵2-2弹簧系统的刚度矩阵由力的平衡有ku1F1aF2aAA‘(a)u2=0ku1=0F1bF2bu2BB‘(b)ku1F1u2F2AA‘BB‘1)只有节点1可以变形,点2固定2)只有节点2可以变形,点1固定3)根据线弹性系统的叠加原理，叠加1)2)两种情况，就得到与原始问题一样的结构，如图（c），叠加结果为：(c)作用于节点1上的合力作用于节点2上的合力刚度矩阵对成、奇异矩阵（2－5）（2－6）二、组合弹簧的刚度矩阵kakbu1,F

5、1u2,F2u3,F31233u1,F1akaF2aF3akbu2＝0u3＝0F1bkakbu2,F2bF3bu1＝0u3＝0F1ckakbF2cu3,F3cu1＝0u2＝0(a)(b)(c)1)只允许节点1有位移u1，力F1a与位移u1之间的关系由于u1＝u2＝0，没有力作用于节点3，因此，考虑弹簧1-2，由静力平衡条件有2)只允许节点2有位移u2，这时由于位移的连续性，每个弹簧在节点2要求有相同的位移，即，弹簧1-2的伸长量与弹簧2-3的缩短量相等。对弹簧1-2有拉力kau2，对弹簧2-3有压力kbu2分别对两弹簧求静力平衡，有3)只允许节点3

6、有位移u3，类似于情况1），有由于节点1、2无位移，有组合弹簧的刚度矩阵4)合成。对整个系统来说有3个节点，每个节点只有一个方向的位移。因此方程式应用如下形式：利用线弹性系统的叠加原理，找出3×3阶刚度矩阵各元素的表达式节点1处的合力节点2处的合力节点3处的合力对成、奇异矩阵（2－8）用同样的方法可以求解具有更多个弹簧的串连系统，推导过程乏味。知道单个弹簧的刚度矩阵－－直接叠加出多个串联系统的总刚度矩阵。知道单个弹簧单元的刚度矩阵，直接叠加出总刚度矩阵对整个系统来说有3个节点，将上述方程扩大成3阶方程：整个系统有3个节点（位移），将上述方程扩大成3

7、阶方程，按矩阵相加原理将两式叠加，（2－9）矩阵扩大办法单元数量增多时，相应扩大后的矩阵就相当大，扩大后的非零元素在矩阵的什么位置，概念上就不很清楚了。按节点号将相应单元的刚度矩阵中元素kij写到总刚度矩阵中的办法来叠加。以上面两个弹簧系统为例，系统共三个节点，每个节点有一个自由度，因此，该系统总刚度矩阵应该是3×3阶的矩阵。第1个单元的节点号为1和2，则单元刚度矩阵中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵的第2行、第3行的第2列、第3列元素上三、方程求解（约束条件的引入

8、）由式（2－6）和式（2－8）可知，刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列式的值为零，矩阵的逆不存在。对应线性代数方程组式（2