杆件结构的有限元法虚功原理

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1、杆件结构的有限元法—虚功原理直接刚度法：已知杆件刚度，利用位移和力的关系，建立单元刚度矩阵。不知道力——位移的关系，怎样求解？本章介绍一种更为一般的有限元求解力学问题的方法：虚功原理推导杆单元刚度矩阵。这一方法分为6步。第一步：建立局部坐标系，写出单元的位移向量和节点力向量。节点的位移向量和力向量为因为向量包含四个分量，所以单元刚度矩阵应该是阶的。第二步：选择适当的位移函数单元内的位移函数，也称为插值函数或试探函数。它应满足单元的边界条件。一般常选择多项式作为位移函数。多项式的项数与单元节点数和节点处的假设已知条件数有关。因为杆单元沿方向没有位移，也没有对应的力，所以可以直接写出两者

2、的关系为下面建立方向位移的插值函数。设杆件内任意一点沿的位移向量为第三步：求单元内任意一点的位移与节点位移的关系由可写出由此可得第四步：求应变—位移—节点位移的关系单元内任意一点的应变可以通过对该点的位移的微分得到，并最终表示为单元的节点位移第五步：求应力—应变—节点位移间的关系第六步：节点位移和节点力的关系虚功原理：外力在虚位移上所做的功，等于内应力在相应虚应变上所作的功。外力在虚位移上所做的功为设系统的初始内应力为0，虚应变为，则内应力所做的功为根据虚功原理有两边消去即其中将和的表达式合写在一起就是其中小结：（1）本章从设置位移函数（也称为位移插值函数或试探函数）出发，利用虚功原

3、理导出了局部坐标系下的杆单元的有限元计算格式，利用前一章的坐标变换矩阵[T]，就可以将它转换到整体坐标系下，然后将各单元的刚度矩阵按照节点力平衡的原理，经过叠加，即可得到总体刚度矩阵。（2）本章的方法具有一般性。（3）位移插值函数的选择与单元节点的数目有关。一般不可能精确描述单元内各点真实的位移情况。