杆梁结构的有限元分析原理.ppt

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1、第4章杆系结构的有限元分析原理杆梁单元概述讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统.从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件承受轴力或扭矩的杆件成为杆杆梁问题都有精确解承受横向力和弯矩的杆件称为梁平面桁架平面刚架连续梁空间刚架空间桁架等承受轴力或扭矩的杆件称为杆将承受横向力和弯矩的杆件称为梁变截面杆和弯曲杆件本章主要内容4.1有限元分析的完整过程4.2有限元分析的基本步骤及表达式4.3杆单元及其坐标变换4.4梁单元及其坐标变换4.1有限元分析的完整过程E1=E2=2E7PaA1=A2=2cm2l1=l2=10cmP3为10N作用下二杆结构的变形。问题的解题思路：1）

2、用标准化的分段小单元来逼近原结构2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场3）基于位移场的最小势能原理来求解基本变量为：节点位移内部各点位移应变应力(1)(3)(2)完整的求解过程1）离散化该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散单元给出节点编号和单元编号。单元1：i=1，j=2单元2：i=2，j=32）单元分析单元位移模式：u(x)=a0+a1x单元节点条件：u(0)=u1，u(l)=u2从而得回代得写成矩阵形式为其中Ni，Nj是形函数。形函数矩阵根据几何方程可得应变的表达写成矩阵形式为简记为几何函数矩阵或者是应变

3、转换矩阵根据物理方程可得应力的表达写成矩阵形式为简记为应力矩阵或者是应力转换矩阵节点位移列阵势能的表达写成矩阵形式为刚度矩阵节点力列阵3）离散单元的装配在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分4）边界条件的处理处理边界条件是获取可能位移场，将左端的约束条件，即u1=0代入上式可以得到简化的势能表达式5）建立刚度方程由于上式是基于许可位移场的表达的系统势能，这是由全部节点位移分段所插值出的位移场为全场许位移场，且基本未知量为节点位移，根据最小势能原理（即针对未知位移求一阶导数）有6）求解节点位移将结构参数和外

4、载荷代入上式有求解得（单位m）7）计算单元应变8）计算单元应力9）计算支反力对于单元势能的表达，对其取极值有具体地对于单元1，有其中R1是节点1的支反力，P2是单元1的节点2所受的力，即单元2对该节点的作用力，将前面求得的节点位移代入上式可得支反力大小。以上是一个简单结构有限元方法求解得完整过程，对于复杂结构，其求解过程完全相同，由于每一个步骤都具备标准化和规范性的特征，所以可以在计算机上编程而自动实现。讨论1：对于一个单元的势能取极值，所得到的方程为节点的位移和节点力之间的关系，也称为单元的平衡关系，由此可以求出每一个单元所受的节点力。讨论2：由前面的步骤，我们也可以直接将各

5、个单元的刚度矩阵按照节点编号的对应位置来进行装配，即在未处理边界条件之前，先形成整体刚度矩阵。其物理意义是，表示在未处理边界条件前的基于节点描述的总体平衡关系。在对该方程进行位移边界条件的处理后就可以求解，这样与先处理边界条件再求系统势能的最小值所获得的方程完全相同。4.2有限元分析的基本步骤及表达式1、物体几何区域的离散化2、单元的研究（所有力学信息都用节点位移）来表达3、装配集成4、边界条件的处理并求解节点位移5、支反力的求取以及其它力学量（应力、应变及位移三大物理量）的计算4.2有限元分析的基本步骤及表达式4.3杆单元及其坐标变换4.3.1局部坐标系中的单元描述5.25m

6、3.75m24mF6m3mF24mE=3E7paρ=0.2836kg/m3F=100N变截面杆单元的推导单元的位移模式形状函数矩阵单元的几何矩阵变截面杆单元的推导单元刚度矩阵为4.3杆单元及其坐标变换4.3.1局部坐标系中的单元描述E=2E10paF=60kNA=250mm2150mm150mmF1.2mm4.3杆单元及其坐标变换-局部坐标由于杆单元只有两个节点位移，故可以设杆单元的位移模式为之包含两个待定常数的形式u(x)=a1+a2x根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以结点的位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地

7、表示。在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。回代得写成矩阵形式为其中Ni，Nj是形函数。根据位移条件有u(0)=u0，u(l)=ul，从而得根据几何方程得根据物理方程得从而，根据单元分析结果，进行整体分析，求解整体方程组，进行结果分析4.3.2杆单元的坐标变换规定：杆端位移和杆端力取在截面形心上，符号以与单元系坐标正向相同为正，相反为负。下面讨论整体坐标系下与局部坐标系下的转换关系式。整体坐标系单元杆端位移和杆端力仍定义在截面形心上，符号以与坐标