《高阶导数与隐函数》PPT课件

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1、§3.3高阶导数、高阶偏导数一、高阶导数二、高阶偏导数一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.定义瞬时速度为路程对时间的变化率记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,二、高阶导数求导法则例解直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例设求例设例设求求例解求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法)注意:三、几个初等函数的n阶导数公式例解同理可得例解二、高阶偏导数的概念与计算设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数

2、仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为则定理.本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.(证明略)例如,对三元函数u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有例.求函数解:的二阶偏导数及说明:函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等注意:但这一情形并不总成立.例.证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程思考:设二阶偏导数连

3、续,证明下列表达式在极坐标系下的形式:§3.4参数方程与隐函数方程微分法一、参数方程确定的函数求导二、隐函数确定的函数求导一、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是y的函数)关系,若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得例1:解:求例.设,且求解:为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率二、隐函数方程确定的函数求导若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为

4、隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)例.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数例.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即例对x求导两边取对数解:,求导函数?下面利用偏导数来考虑隐函数方程确定的函数求导问题.定理1.设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略.①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数例.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:令连续,由定理1可知,①

5、导的隐函数则②③在x=0的某邻域内方程存在单值可且求两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时导数的另一求法—利用隐函数求导定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略.满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确例.设解法1利用隐函数求导再对x求导解法2利用公式设则两边对x求偏导作业P95-9618(2)(4),19(1),20,21(2),22;23(1)(2),24(2)(4)(5),25,27;