高阶导数与隐函数的导数

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1、二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念机动目录上页下页返回结束高阶导数与隐函数的导数第二章三、隐函数求导一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动机动目录上页下页返回结束定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动目录上页下页返回结束设求解:依次类推,例1.思考:设问可得机动目录上页下页返回结束例2.设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例3.设求机动目录上页下页返回结束例提示:令原式原式机动目录上页

2、下页返回结束例4.设求解:一般地,类似可证:机动目录上页下页返回结束二、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)牛顿——莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数推导目录上页下页返回结束用数学归纳法可证牛顿——莱布尼兹公式成立.机动目录上页下页返回结束例5.求解:设则代入莱布尼兹公式,得机动目录上页下页返回结束内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法如,机动目录上页下页返回结束三、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显

3、函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)机动目录上页下页返回结束例1.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数机动目录上页下页返回结束例2.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即机动目录上页下页返回结束例3.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导机动目录上页下页返回结束1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:机动目录上页

4、下页返回结束2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两边对x求导机动目录上页下页返回结束又如,对x求导两边取对数机动目录上页下页返回结束内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数机动目录上页下页返回结束作业第三节目录上页下页返回结束P702,3,5(3)(4)P718(2)