剖析高中数学中的线性规划问题

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1、剖析高中数学中的线性规划问题【摘要】线性规划问题是指：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题。一直是浙江省高考数学中的热门考点，也可以说是必考点。通常以选择填空题的形式考查考生的相关知识，但2012年浙江省高考理科卷却在最后大题的最后一小题中采用了线性规划求变式a+b的范围。可见高考在线性规划问题上对学生的要求已经上升到了对知识本质的真正理解与应用。本文将对浙江省高考中线性规划问题考察的特点及要求做出剖析，对线性规划问题的本质，能解决的具体问题，以及常见的考查题型做出总结，并且对“线性规划问题”的推广也做了分类归纳。【关键词】线性规划，可行域，最优解，目标函数线性规划

2、问题是指：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题。近年来，高考在线性规划出题的形式越来越灵活，并且线性规划与其他知识进行交叉融合。考察中不仅体现了高中数学常用的数学思想，如数形集合思想，分类讨论思想，转化与化归思想，而且还能体现学生的综合分析问题能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力。本文针对浙江高考特点对线性规划问题作出解题策略。一、浙江高考题中的线性规划问题例如：2012年浙江省高考数学（文科）卷，第14题：(该题为本文的样题)设，其中实数x，y满足，则z的取值范围是_________。图（2）图（1）先简单介绍下相关概念：（1）函数称为目标函数，由于目标函数是

3、含x，y的一次解析式，在直角坐标系xoy中表示直线，故称为线性目标函数。（2）表示x，y满足的约束条件，由于约束条件中的不等式也都是x，y的一次不等式，故也称为线性约束条件。（3）约束条件在直角坐标系xoy中表示的平面区域称为可行域（如图（1）黄色区域）。（4）可行域中的任意点（x,y）称为可行解。可行解中能使目标函数z取得最大或最小的解称为最优解，相应的z值称为最优值。其次谈谈解决线性规划问题的基本步骤：画：画出约束条件所表示的可行域。注意边界满足时画实线，边界不满足时把边界画成虚线。移：通常画出z=0时目标函数所表示的直线，再画如z=1时目标函数所表示的直线，从中领悟目标函数在

4、上下移动过程中z的变化情况，如图（2）可以发现在直线越往上移动过程中，z值越大；越往下移动过程中，z值越小。确定最优解：通过步骤②不难确定图（2）中和为最优解，且z在处取得最大，在处取得最小。求最优值：计算最优解，联立边界方程，解出交点坐标，代入目标函数。由边界直线与求出点，代入得；同理由边界直线与求出点，代入得。所以z的取值范围是。再看09——11年的浙江高考数学卷中的题。2009年（文理13）若实数满足不等式组则的最小值是4．2010年（文7）若实数满足不等式组，则的最大值为（）（A）9（B）（C）1（D）2011年（3）若实数满足不等式组,则的最小值是（）(A)13(B)15

5、(C)20(D)28从以上历年文科试题中可以看出，该类问题注重学生的对解题步骤的强化。多画平面区域，领悟直线移动中z值的升降变化情况，正确求出边界交点，解决线性规划问题。在掌握解题步骤后，不难发现最优解必定在区域的边缘。这样只要将边界交点都求出来，并算出相应的目标函数值，其中较大的为最大值，较小的为最小值。如在样题中，，,代入目标函数得到值为：。从而知，，故z的取值范围是。再比如把样题中的目标函数变式为：。同样也把点，，图（3）,代入目标函数得到值为：。因此有，，故z的取值范围是。从图（3）中也可以看出目标直线在移动过程中，在原点处取得最小，在线段BC上取得最大。故z的取值范围确实

6、是。举此例，也想说明最优解并不一定是唯一的。还要特别提醒的是不可盲目只求直线交点，然后代入目标函数计算比较。这样会照成一些非可行解也进入比较行列，如样题中的点。然而最优解出现在可行域的边缘这个结论是正确的，关键是先画出可行域。由此可以看出作图的重要性。下面再来看近年的浙江理科试题。2010（理7）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（A）（B）（C）1（D）2图（a）与同年文科题相比，随稍有改动，但提高了难度。解：先画出表示的平面区域如图（a），由于直线恒过点M，且原点满足，故约束条件的平面区域可分为如下情况：图（b）图（c）图（d）①当时平面区域如图(b),显然的最大为无穷

7、大，不是9。②当时如图（c），显然不存在可行域，不符合题意。③当平面区域如图（d），通过平移直线，不难发现在B点处取得最大。根据解边界直线的方程组：，得B坐标为，因此由，得。通过上述分析，感受文理数学在考察上的不同要求，如分类讨论，数形结合思想在理科题中更加深入，在知识的本质理解上也更进一层。但无论多高的要求，都离不开解决线性规划问题的基本步骤。再看下面这题，也不妨先比较下同年文理的区别。如不等号，的进一步要求。这些不同点必然体现了理科考核要求的提高，也是做题中不可忽