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1、线性规划问题在高中数学中的应用咸阳道北中学张欣吴慧内容提要简单的线性规划是高中数学知识的重要内容,在现实生活中有一定的应用价值,学生在高中阶段掌握简单线性规划对以后的学习有很大的帮助.另外,新课程中线性规划也是高考的主要考点之一，而且对线性规划的要求也越来越灵活，以考查线性目标函数的最值为重点,兼顾考查代数式的几何意义(如斜率、距离、面积等).多以选择题、填空题出现,含参数的线性规划问题是高考的热点,在各章知识交汇处出题也是高考的一个热点,具有应用的多样性.其中也对学生的方程思想、数形结合思想、特殊与一般的思想等
2、多种数学思想进行全方位考查.下面笔者对平时教学中出现的线性规划问题进行分类与剖析,旨在拓展学生思维同时,教给学生掌握一些解题的方法与技巧.关键词：新课程线性规划目标函数最优解Ⅰ、最优解的确定方法线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关,当b>0时，最优解将ax+by=0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线的交点)的位置得到的.当b<0时,则向下方平移,与b>0时的情况相反.笔者把这样的结论写成了这样一句话:“z=ax+by,b>0上移时z的值增大，下移z的值减小;b<0上移时z的值减小,下移
3、z的值增大”.Ⅱ、线性规划问题应用的多样性一、求目标函数的最值xy0A(3,5)5x-y-10=0x-y+2=02-222x+y=0增大图1例1、(2008年广东卷)若变量x、y满足约束条件,则z=2x+y的最大值是________.解析：步骤如下：作出可行域(如图1)-------作直线2x+y=0-------找最优解-------求最值;目标函数y前的系数b>0则上移时z的值增大，由得A(3,5)，所以，例2、(2010年宝鸡市一模)已知x、y满足，则使目标函数z=4x+y-10取得最小值的最优解有().A
4、、1个B、2个C、3个D、无数个0yx图24413x-2y-3=04x+y-4=0x+y-4=0解析：可行域(如图2)，由于4x+y-10=0与4x+y-4=0平行且z=4x+y-10中b>0，于是下移是z的值减小，所以最优解有无数个，选D.例3、(2010年咸阳市三模)已知变量x、y满足约束条件，且m=-2x+y，则m的取值范围为________.xy026A146增大减小-2x+y=0x-2y=0x+y=6图3解析：可行域(如图3)，目标函数m=-2x+y中，b=1>0，则m最大值在O点处取，最小值在A点处取
5、，，思考：求目标函数的最值，必须先准确地作出可行域，再作出目标函数对应的直线，根据题意确定取最优解的点，进而求出目标函数的最值.xy02257A(2,7)BL1L2y=ax-y+5=0x=2图4一、含参数的线性规划问题例4、(2010年咸阳市一模)设不等式组所表示的平面区域是一个三角形区域，则a的取值范围为 ________.解析：可行域(如图4)，由的A(2,7)阴影部分为共同表示的平面区域，要使平面区域为一个三角形区域，则应在之间，由于B(0,5)，所以.例5、(2010年西工大附中第七次模考)在平面直角坐标
6、系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积为2，则a的值为().A、-5B、1C、2D、3xy0ABCDLx+y-1=0x=1图5解析：可行域(如图5)，根据约束条件先作出所表示的平面区域，然后再去处理含参数的二元一次不等式即，则直线恒过A(0,1)，假设所表示的直线为L，与交于C，过A作BC垂线交BC于D，由△ABC的面积为2，则BC=4，所以C(1,4)，因为C在L上，于是由4=a+1,得a=3，则选D.例6、(2010年西工大附中第六次模考)在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则k的取
7、值范围为().A、B、xy0122y=x-2-2y=2x图6C、D、解析：本题中可以运用排除法，观察四个选项，B,C,D三项中k可以取1，而A中k不可取1，则可以尝试令k=1，不等式组为，此表示的可行域(如图6)的阴影部分，可见k=1时不能表示为三角形区域，于是选A.思考：含参数的线性规划可在作可行域时先将约束条件中的不含参数的不等式所表示的平面区域作出，然后再考虑含参数的不等式，利用尝试的方法去研究，如例4、例5；有时在作选择题时利用排除法去完成，如例6.一、与向量有关的线性规划问题例7、(2010年咸阳市5月
8、专递)已知p(x,y)在由不等式组确定的平面区域内，O为坐标原点，点A(-1，2)，则的最大值为________.解析：可行域(如图7)，要求的最大值，则自然考虑数量积及几何意义，因为xy0x-y-1=0x+y-3=0x=1-1331B(1,2)AP(x,y)2.图7，所以，要求最大，需要的值最大，令，于是转化为求目标函数最值问题，由得B(1,2),所以思考：与向量有关的
