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《高中数学简单的线性规划问题-难点剖析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、简单的线性规划问题-难点剖析【例1】设z=3x+5y,式中变量x、y满足条件求z的最小值.思路分析:由于所给约束条件及目标函数均为关于x、y的一次式,所以此问题是简单线性规划问题,使用图解法求解.解:画出约束条件表示的点(x,y)的可行域,如下图所示的阴影部分(包括边界直线).把z=3x+5y变形为y=-x+,得到斜率为-,在y轴上的截距为,随z变化的一族平行直线.作直线l:3x+5y=0,把直线向右上方平行移至l1的位置时,直线经过可行域上的点M,此时l1:3x+5y-z=0的纵截距最小,同时z=3x+5y取最小值.解方程组得M(1,1).
2、故当x=1,y=1时,zmin=8.思维启示:图解法是解决线性规划问题的有效方法,其关键是利用z的几何意义求解.平移直线ax+by=0时,看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域,则这样的点即为最优解,最优解一般是在可行域的边界取得.【例2】已知x、y满足不等式组求使z=160x+252y取得最小值的非负整数点.思路分析:先找出可行域中的所有整点,再寻求其中符合题意的整点.解:不等式组表示的平面区域如图所示.其可行域为四边形ABCD及其内部,它的顶点坐标是A(,4),B(7,),C(7,2),D(5,4).结合图形可知,在四边
3、形区域内,横坐标与纵坐标都是非负整数的点有(3,4),(4,3),(4,4),(5,2),(5,3),(5,4),(6,2),(6,3),(7,1),(7,2).作直线l:160x+252y=0,将l向右上方平行移动,可发现它与上述点中最先接触到的整点是(5,2),所以在点(5,2)处得到的z的值最小,此时zmin=160×5+252×2=1304.思维启示:对于线性规划中的最优整数解问题,当解方程组得到的解不是整数解时,常用下面的一些方法求解.(1)平移直线法:先在可行域中画网格,再描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解
4、.(2)检验优值法:当可行域中整点个数较少时,可将整点坐标逐一代入目标函数求值,经过比较得出最优解.(3)调整优值法:先求非整点最优解,再借助于不定方程知识调整最优解.【例3】某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需消耗一级子棉2吨、二级子棉1吨,生产乙种棉纱需消耗一级子棉1吨、二级子棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润是600元,每1吨乙种棉纱的利润是900元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少吨,才能使利润总额最大?思路分析:已知数据列表如下:解:设生产甲、乙两
5、种棉纱分别为x吨、y吨,那么利润总额z=600x+900y元,线性约束条件为作出其可行域如下图所示.把z=600x+900y变形为平行直线系l:y=-x+.由图可知,当直线l经过可行域上的点M时,截距最大,即z取最大值.解方程组得交点M(,).所以应生产甲种棉纱吨,乙种棉纱吨.思维启示:用图解法解线性规划应用题具体步骤为:(1)设元,并列出相应的约束条件和目标函数;(2)作图:准确作图,平移找点;(3)求解:代入求解、准确计算;(4)检验:根据结果,检验反馈.【例4】有一批钢管,长度都是4000mm,要截成500mm和600mm两种毛坯,且这
6、两种毛坯数量之比按大于配套,怎样截合理?思路分析:若设每根截500mm的x根、600mm的y根,则即其中x、y均为正整数,可行域如下图所示,目标函数为z=x+y,作一组平行直线x+y=t,经过可行域中的点且和原点距离最远的直线为过点A的直线.由得故A(,),调整为x=2,y=5,即x+y=7,经检验满足条件.∴每根截500mm的2根、600mm的5根合理.但这是错误的.上述解法错误的原因是满足条件的整点不只一个,而本题只找出了满足条件的一个解.解:设每根截500mm的x根、600mm的y根,则且x、y∈Z.可行域如右图所示.目标函数为z=x+
7、y,作一组平行直线x+y=t,经过可行域中的点且和原点距离最远的直线为过点B(8,0)的直线,这时x+y=8.由x、y为正整数知(8,0)并不是最优解,因它不在可行域内.因此在可行域内找整点,得到点(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)均为最优解,此时x+y=7.答:每根钢管截500mm的2根、600mm的5根或截500mm的3根、600mm的4根或截500mm的4根、600mm的3根或截500mm的5根、600mm的2根或截500mm的6根、600mm的1根合理.思维启示:对于最优解是整数解的实际问题,用图解法得到的解若
8、为非整数解(近似解),应调整为整数解,常用方法有两种:一是平移目标函数的直线,寻找最近或最远的整点;二是若可行域中整点数目很少时,可逐个检验.
