高等数学-笔记

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1、第1章函数§1函数的概念一、区间、邻域自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R建立数轴后：建立某一实数集A与数轴上某一区间对应区间：设有数a,b,a

2、a

3、a

4、a≤x≤b}a∈[a,b],b∈[a,b]文章来源：http://www.codelast.com/半开区间：[a,b)={x

5、a≤x≤b},a∈[a,b),b?[a,b)(a,b]={x

6、a

7、,a∈(a,b],b?(a,b]a，b都是确定的实数，称(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]b-a”称为区间长度。为有限区间，“记号：+∞——正无穷大-∞——负无穷大区间：[a,+∞)={x

8、a≤x}(a,+∞)={x

9、a

10、x≤b}(-∞,b)={x

11、x0)，则称实数集{x

12、a-δ0称为邻域N(a,δ)的半径。去心邻

13、域：把N(a,δ)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a^,δ)={x

14、0<

15、x-a

16、<δ}=N(a,δ)?{a}注：其中，?{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。二、函数概念例1.设圆的半径为x(x>0)，它的面积A=πx2，当x在(0,+∞)内任取一个数值（记为?x∈(0,+∞)）时，由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。文章来源：http://www.codelast.com/例2.设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角α=2πn，周长Sn=n?2rsinπn，当边数n在自然数集N(n≥3)S=2nrsin

17、πn就有一个S任取一个数，通过关系式nn对应确定数值。函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对?x∈X，通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应，记为x→fy，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。其中X称为f的定义域，常记为Df。X——自变量，Y——因变量。当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集Vf={y

18、y=f(x),x∈X}，称Vf为函数f的值域。文章来源：http://www.codelast.com/注意：（1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数

19、定义的两个要素。例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+2>2，而只有当

20、x2+2

21、≤1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=lnx2与y=2lnx不是同一个函数，因为定义域不同。而y=lnx2与y=2ln

22、x

23、是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。（3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为

24、Df，?x∈Df，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取Df中一切实数时，就得到点集P={(x,y)

25、y=f(x),x∈D}。点集P称为函数y=f(x)的图形。f文章来源：http://www.codelast.com/三、函数的几个简单性质1.函数的有界性若?M>0,s.t.

26、f(x)

27、≤M,x∈I，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。，且x1

28、sinx

29、≤1,x∈(-∞,+∞)

30、）。又如，y=1x2+1在(-∞,+∞)上有界。对任何正数M>0（无论多么大），总?x1∈I,s.t.

31、f(x1)

32、>M，则称f(x)在I上无界。例如，y=1x在(0,1)内无界。证明：对给定的M>0（不妨设M>1），无论M多么大，必存在x1=12M∈(0,1)，使f(x1)=112M=2M>M函数的上界、下界：若?M（不局限于正数），s.t.f(x)≤M,?x∈I，则称f(x)在区间I上有界。任何一个数N>M，N也是f(x)的一个上界。若?P,s.t.f(x)≥P,?x∈I，则称f(x)在区间I上有下界。若Q

33、在区间I上有界?f(x)在I上既有下界又有上界（“?”表示充分必要条件）。证明：设f(x)在I上有界，根据定义，?M>0,s.t.

34、f(x)

35、≤M,?x∈I。

36、f(