高等数学笔记系统@符号

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1、前言笔记规则==——表示定义——收敛——发散所感所悟平时要适当练习，不然复习周鸭梨很大！平时的练习注意应写在一个本子上比较方便管理。如果老师作业多则写在纸上用活页文件夹装订。考试技巧考试做完题最重要的是...再把题读一遍，确保没有读错题的。（读题时用气声，不要陷入惯性思维不能发现错误！）第一章函数与极限初等函数==由五类基本初等函数经过有限次加减乘除及复合运算并能用一个式子表达的函数。定理（个人成果）设、是初等函数，则在、的公共定义域内，也是初等函数。其中称为定界系数。注意：显然该函数存在断点！最值函数==三角函数定理指

2、数函数极限原则隐蔽的函数关系第二章导数与微分第三章微分中值定理与导数应用第四章不定积分三角函数微积分性质过于复杂，不必背诵。一般采用分步积分法。？？？？？？记忆法则：s、t开头求导皆为正，积分皆为负；c开头反之。In同求导算。第五章定积分三角积分说明：三角积分1原理：循环区间内积分为0三角积分2原理：奇偶函数之积三角积分3原理：积化和差后，利用三角积分1证明：三角积分4原理：与三角积分3相似，积化和差后，利用三角积分1证明：三角积分5原理：利用分部积分法求出递推关系第六章定积分的应用极坐标扇形面积旋转体体积曲线弧长类型公

3、式记忆图形参数方程’’直角坐标1’极坐标’第七章微分方程微分方程基本概念微分方程==未知函数及其导数的关系式。微分方程的阶==微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。微分方程的解==能使微分方程恒成立的函数。微分方程的通解==含有与微分方程阶数相同个数的任意常数的解。微分方程的特解==确定了通解中的常数后的解。可分离变量微分方程可分离变量的微分方程==形式：（隐式）通解==解法分离函数变量→两端积分→（解出y）齐次方程齐次方程==能化成的微分方程。解法代入即可。一阶线性微分方程一阶非齐次线性方程==形式：若则为一阶

4、齐次线性方程。解法一阶齐次线性方程分离变量：两端积分：化简：一阶非齐次线性方程常数变易法：注意第一个指数积分有负号！可降价的高阶微分方程高阶微分方程==二阶及以上的微分方程。解法型连续积分n次即可。型将看作，遂降级为一阶微分方程。型将看作自变量，为因变量，为一阶导数与因变量之积，化为一阶微分方程。求出、的关系后，再将作因变量求解。高阶线性微分方程二阶齐次线性方程==形式：定理齐次、非齐次解的关系齐通=奇特+奇特（两个奇特须线性无关）非齐通=齐通+非齐特→齐通=非齐通-非齐特非奇特=奇特+非齐特→奇特=非齐特-非齐特应用由

5、3个线性无关的非齐特可求出非齐通：线性组合定理如果函数与是二阶齐次线性微分方程的解，那么也是该方程的解。（其中、为任意常数）即，n阶齐次方程只须获得n个特解（线性无关）即可求出其通解。和函数定理若非齐次线性方程右端为两函数之和，即而、分别为方程与的特解，那么是原方程的特解。常系数齐次微分方程二阶常系数齐次线性微分方程==解法解的形式：代入得：第一步特征方程：第二步求解特征方程第三步、是两个不相等实根：、是两个相等实根：、是两个共轭复根：常系数非齐次微分方程二阶常系数非齐次微分方程==求解方法：求出齐次方程的通解即非齐次方

6、程的特解即可求特解方法型令，将代入微分方程，使其左端与右端同次数系数相同，解出解的所有常系数。其中按照是否为特征根方程的解决定值：时：=0、时：=1、时：=2型令，将代入微分方程，使其左端与右端同次数系数相同，解出解的所有常系数。根据不是、是特征方程的单根依次取0、1第八章空间几何向量及其线性运算向量概念==有方向、有大小的量单位向量==模=1的向量零向量==模=0的向量向量、夹角记作：向量平行==向量共线定理：存在唯一实数，使四象、八卦方向角与方向余弦方向角==非零向量与3条坐标轴夹角称为向量的方向角。方向余弦==方向

7、角的余弦向量的投影向量在平面的投影==是其投影向量的模长（是一个数而非向量！）在平面u上的投影记作或性质1：性质2：性质3：数量积、向量积、混合积数量积（点积、内积）满足交换律、分配率、数与向量的结合律向量积（叉积、外积），结果为向量，方向垂直于原向量所在平面，与原向量按顺序满足右手规则。满足变号交换律、分配率、数与向量的结合律混合积表示平行六面体体积，可以用于判定3向量或4点共面。曲面及其方程旋转曲面旋转曲面==一条平面曲线绕该平面上的一条特定直线旋转一周所形成的曲面。旋转轴==以上特定直线。柱面柱面==平行直线l沿特

8、定轨迹C移动所形成的轨迹。准线==以上C。母线==以上l。二次曲面二次曲面==曲面方程为三元二次方程。球面椭球面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面椭圆锥面椭圆抛物面双曲抛物面经验z正为球面，否则有常数y正为单叶，y负为双叶；无常数有二次项为圆锥，有一次项为抛物面，y正为椭圆，y负为双曲。空间曲线及其方程空间曲线一般方程空间