高等数学备课笔记

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1、《高等数学》备课笔记安徽省商贸职业技术学院基础部叶迎春10第一章函数、极限与连续内容提要　函数是微积分学研究的主要对象。本章在复习与补充函数相关知识的基础上，介绍了函数的三种分类方法。教学目的　理解函数、基本初等函数、复合函数、初等函数等概念，掌握函数的基本性质，理解连续函数和可微函数的概念。重点　函数和复合函数的概念，连续函数和可微函数的概念。难点　连续函数和可微函数的概念。总课时　4课时　解析法表示法表格法　　图像法一、函数的概念与性质1.函数的概念对应法则值域　：　一对一几对一一对一几对一１．分式，分母必须不等于零

2、；２．偶次根式，被开方式必须大于等于零；３．对数，真数必须大于零；４．正切符号下的式子必须不等于（），余切符号下的式子必须不等于（）；５．反正弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1，反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1；６．表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它们的交集；７．分段函数的定义域为各段落有意义区域的并集。定义域例1　求下列函数的定义域.函数函数有定义的条件定义域或10例2　求函数值．　　　函数值　函数2.函数的性质　　有界性一般地，在区间内是有界的函数有：，，，等。函数性质　　　　　奇偶性　例如，函

3、数是偶函数，即非奇函数，也非偶函数，是奇函数。单调性例如，函数在区间上是单调增加的，在区间上是单调减少的。周期性例如，函数都是以为周期的周期函数，都是以为周期的周期函数。中间变量3．复合函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自变量若的值域或其部分包含在的定义域中　　例如，　已知，，由于的定义域，的值域，所以将代入得它们组成的复合函数．例3　指出下列复合函数是由那些简单函数复合而成的。函数复合过程4．初等函数10首先，介绍基本初等函数。函数（1）；（2）（为任意实数）（3）（4）（5），，，，，（6），，，统称为基本

4、初等函数，它们是微积分中所研究对象的基础，应很好地掌握它的定义域、值域、图象和性质。名称表达式定义域图例性质常数函数1．偶函数；2．有界。幂函数（为任意实数）随值的不同，的定义域也不同1．图象都过和点；2．在内单调增加。1．图象都过点；2．在内单调减少。指数函数1．全部图象在轴上方；2．图象都过点；3．函数单调增加。1．全部图象在轴上方；2．图象都过点；3．函数单调减少。10对数函数1．全部图象在轴右侧；2．图象都过点；3．函数单调增加。1．全部图象在轴右侧；2．图象都过点；3．函数单调减少。正弦函数1．奇函数；2．周期

5、；3．有界；4．在上单调增加；在上单调减少。余弦函数1．偶函数；2．周期；3．有界；4．在上单调增加；在上单调减少。正切函数1．奇函数；2．周期；3．在上单调增加。余切函数1．奇函数；2．周期；3．在上单调减少。10反正弦函数1．奇函数；2．有界；3．单调增加。反余弦函数1．有界；2．单调减少。反正切函数1．奇函数；2．有界；3．单调增加。反余切函数1．有界；2．单调减少。由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数叫初等函数。初等函数里一些概念之间的关系可用图表说明如下：10表达

6、式　定义域　图形　性质反三角函数三角函数对数函数数指数函数不清幂函数常量有限次四则运算基本初等函数有限次复合步骤初等函数（用一个式子表示）二、函数的分类　　本部分内容主要介绍函数的三种分类方法。第一种方法是根据它们是否是连续函数进行分类；第二种方法是依据它们是否保留实数运算的代数结构进行分类；第三种方法是根据它们是否是可微函数进行分类。1．连续函数如果一个函数将“邻近”的点仍变换成“邻近”的点，我们就称该函数为连续函数。设变量从它的一个初值变到一个终值，记的改变量的改变量我们有：函数在点的某个邻域内有定义连续函数在点处例

7、4题目解答用定义证明函数在点处连续因为函数在点的任一邻域内有定义，且显然，　　　　　所以函数在点处连续。10一般地，函数在处有定义函数在点处右连续连续存在左连续称为函数的连续点例5题目解答讨论函数在点处的连续性。因为函数在点的任一邻域内有定义，且所以，函数在点处连续。例6　已知求（1）（2）函数的定义域（3）当为何值时，极限存在，此时，在处是否连续？解　（1）（2）函数的定义域为，（3）由于10当时，，存在。由于当时，，故在处连续。2．线性函数　　设函数，如果对任意的，满足（1）（2）我们称为线性函数。例如，函数是线性函

8、数，与不是线性函数。线性函数的图象是通过原点的直线，其斜率为，且所有线性函数都是连续函数，因此，简单易处理的线性函数在经济研究中非常受欢迎。然而，有很多函数不是线性函数，这就需要解决非线性函数的线性近似的问题。这里有两个问题需要回答：（1）在什么条件下，一个从到的函数可以线性近似？（2）如果可以线性近似，如何找到这一