管理学中的数学方法

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1、引论：数学规划（MathematicalProgramming）简介数学规划研究的是在变量（决策变量decisionvariables）满足一些等式和不等式限制的条件下，求函数（也可为多个，称为目标函数objectivefunction）的最大值（或最小值）的问题，其中约束条件往往用约束函数（constraintfunction），，来表示。有时也可写成集合约束的形式，令，称为可行集或可行域（feasibleregion），中的点称为该数学规划的可行点或可行解（feasiblesolution）.上述数学规划常被记为l数学规划的分类：可行域（决策变量）：无约束优

2、化，约束优化离散最优化，连续最优化，整数规划，混合整数规划函数（目标、约束）性质：线性规划，非线性规划，二次规划（目标函数是二次函数，约束函数是线性函数）单目标规划，多目标规划其他：动态规划，随机优化，模糊优化例1.投资问题1资金10亿，投资于8中证券，期望收益率分别为，投资最低期望收益率为，证券收益率的协方差矩阵为，由Markowitz投资组合理论，投资组合（portfolio）的风险是，于是，使该组合投资风险最小的数学规划模型为：这是一个二次规划。例2.投资问题2资金10亿，可建8个工厂，分别需投资，投资时间内的收益分别为，求最佳的投资方案。l决策变量：决策

3、变量的处理方法：转为整数，加入约束条件l约束条件：l目标函数：总收益最大总利润最大利润率最大这是一个整数规划例3.仓库选址个市场，位置分别为，对某种指定货物的需求量分别为现在要建个仓库，第个仓库可存储该指定货物个单位，请确定仓库的位置，使各仓库对各市场的运输量与路程的乘积之和为最小。l决策变量：，仓库的位置，仓库到市场的运输量，l目标函数：其中为仓库到市场的距离l约束条件：仓库容量市场需求运输量非负，这是一个非线性规划。l数学规划的标准形式：l定义：给定，若使得对任意的有，则称为的最优解（optimalsolution），为的最优值，最优解集记为.第1章无约束优

4、化问题一、数学基础1.维欧式空间称分量为实数的全体维列向量的集合为维欧式空间。l向量的坐标令称为中的坐标系，坐标原点为.由于，故可以将中的向量视为坐标系中的点，为点在坐标轴上的坐标（），这样，我们可以通过坐标定义中的向量之间的运算。l向量的运算设，，，定义（1）向量加法：（2）向量减法：令，则（3）数与向量的乘积：（4）向量的乘法（内积）：l运算性质：（1）加法结合律：（2）加法交换律：（3）乘法（内积）交换律：（4）乘法分配率：l向量的长度称为中向量的长度（模）lCauchy-Schwarz不等式：若，则证明：考虑关于实变量的一元二次函数故其判别式，从而，即.

5、练习：利用Cauchy-Schwarz不等式证明三角形不等式：提示：利用向量长度的定义与向量的运算性质。l向量的夹角由Cauchy-Schwarz不等式，若，则，故可令，称为向量的夹角，则有.为锐角，此时称向量互相垂直为钝角l中点的邻域若，称为点的邻域。2.多元函数的导数：梯度与海赛（Hesse）矩阵l元实值函数，，l称向量为在处的梯度向量（gradient），它可以被理解为多元函数在处的一阶导数。l称矩阵为在处的海赛矩阵，它可以被理解为多元函数在处的二阶导数，也常常被简记为若的每个分量函数在处都连续，则称在处一阶连续可微。若的每个分量函数在处都连续，则称在处二

6、阶连续可微。若在处二阶连续可微，则是对称阵。例1.若为实对称阵，，，求（1）线性函数（2）二次函数的梯度和Hesse矩阵。解：（1），故，（2）令，故，故从而，.3.多元函数的泰勒展开式l一个简单多元复合函数的求导若函数的偏导数存在且连续，单变量函数具有一阶连续导数，考虑关于的简单多元复合函数，其关于的导数为：例2．若一阶连续可微，求一元函数的一阶和二阶导数。解：令，则，故从而定理1.给定函数，（1）若在点的某个邻域内一阶连续可微，则存在使得.（2）若在点的某个邻域内二阶连续可微，则存在使得.证明：（2）当时，令，则在上连续，在内二阶连续可微，且，，于是，有一元

7、函数的泰勒公式可知存在使得，即.类似地，也有：定理2.给定函数（1）若在点的某个邻域内一阶连续可微，则.（2）若在点的某个邻域内二阶连续可微，则.4.矩阵的正定和半正定性设是一个对称矩阵，若对任意的有，则称是一个正定矩阵；若对任意的有，则称是一个半正定矩阵。对于矩阵，其前行和前列的公共部分构成的矩阵的行列式称为的阶顺序主子式。（），记为.结论：正定半正定负定负正定二、无约束规划问题问题：l无约束规划问题的最优解的类型：设，（1）若存在的邻域，使得，则称为的局部最优解，若，则称为的严格局部最优解；（2）若对任意的，有，则称为的全局最优解，若对任意的，有，则称为的严

8、格全局最优解。l一阶必要