工程优化中的数学方法

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1、工程优化设计中的数学方法工程优化设计中的数学方法硕士研究生课程硕士研究生课程理学院数学系：穆学文E-mail:mxw1334@163.com教材及其参考书目教材及其参考书目计划学时数：46学时教材：[1]最优化计算方法.陈开周，西安电子科技大学出版社，1985。[2]最优化理论与算法.陈宝林.清华大学出版社，2003。主要参考书目：[1]最优化理论与方法.袁亚湘,孙文渝.科学出版社，1997。[2]最优化方法.唐焕文,秦学志.大连理工大学出版社，1985。[3]非线性规划数值方法.袁亚湘，上海科学技术出版社，1993第一章基础知识ò

2、背景知识ò最优化问题举例ò优化问题的数学模型及其分类ò最优解与极值点ò常用的数学软件§1背景知识最优化技术是一门较新的学科分支。它是在本世纪五十年代初在电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为一门直到目前仍然十分活跃的新兴学科。最优化所研究的问题是在众多的可行方案中怎样选择最合理的一种以达到最优目标。将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策，搜寻最优方案的方法称为最优化方法，关于最优化方法的数学理论称为最优化理论。最优化问题至少有两要素：一是可能的方案；二是要追求的目标。后者是前者的函数。如果第一要素与时间无关就称为静态最

3、优化问题，否则称为动态最优化问题。本科程专门讲授静态最优化问题。最优化技术应用范围十分广泛，在我们日常生活中，在工农业生产、社会经济、国防、航空航天工业中处处可见其用途。如结构最优设计、电子器件最优设计、光学仪器最优设计、化工工程最优设计、标腔最优配方、运输方案、机器最优配备、油田开发、水库调度、饲料最优配方、食品结构优化等等。最优化技术工作被分成两个方面，一是由实际生产或科技问题形成最优化的数学模型，二是对所形成的数学问题进行数学加工和求解。对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资料，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出

4、数学模型，目前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问题时是十分关键的基础，没有这一工作，最优化技术将成为无水之源，难以健康发展。因此，我们在学习本科程时要尽可能了解如何由实际问题形成最优化的数学模型。为了便于大家今后在处理实际问题时建立最优化数学模型，下面我们先把有关数学模型的一些事项作一些说明。数学模型:对现实事物或问题的数学抽象或描述。建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所研究的系统，但要注意到过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情况，而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。因此，具体建立怎样

5、的数学模型需要丰富的经验和熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模型进行必要的数学简化以便于分析、计算。建立最优化问题数学模型的三要素：（1）决策变量和参数。决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。（2）约束或限制条件。由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。（3）目标函数。这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追求的目标。一般的模型简化工作包括以下几类：（1）将离

6、散变量转化为连续变量。（2）将非线性函数线性化。（3）删除一些非主要约束条件。§2最优化问题举例最优化在运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个实例。例1:把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？解:(1)决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半径r、高h。(2)问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即234πrh⋅⋅=ρπR⋅ρ3ρ为金属比重.0ρ≠.R=1即24rh−=03问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即minimize

7、(min)222πrh+πr则得原问题的数学模型：2min2πrh+2πr24st..r−=03s.t.Subjectto.固定.利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题,分别对r,h,λ求偏导数,并令其等于零.有:224Lr()..hλπ=2rh+−2πrλ(rh−)3∂L=+24ππhr−2rhλ=0∂rhr=2∂L222⇒=−20πλrr=⇒=rh33,2=∂h33∂L24=−rh+=0∂λ3223此时圆柱体的表面积为6π3例2:多参数曲线拟合问题已知两个物理量x和y之间的依赖关系

8、为:a2ya=+1xa−1l++an1exp43a5其中aa12,,a3,a4和a5是待定参数,为确定这些参数,对x,y测得m个实验点:(x1,y1),,(x2,y2)L(xmm,y).试将确定参数的问题表示成最优化问题.