大气科学中的数学方法

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1、大气科学中的数学方法(复习题)3、回归分析：研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1，X2，…，Xk)变量的相依关系的统计分析方法。回归分析（regressionanalysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。一元线性回归，即模型为Y＝a＋bX＋ε相关分析：研究随机变量之间相关性的统计分析方法。相关分析（correlationanalysis），相关分析是研究现象之间是否存在某

2、种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。相关系数：衡量两个变量线性相关密切程度的量。对于容量为n的两个变量x，y的相关系数rxy可写为，式中是两变量的平均值。相关系数是变量之间相关程度的指标。样本相关系数用r表示,总体相关系数用ρ表示,相关系数的取值范围为[-1,1]。

3、r

4、值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高；

5、r

6、值越接近0，Q越大，变量之间的线性相关程度越低。回归分析与相关分析的关系：相关分析与回归分析在实际应用中有密切关系。然而在回归分析中，所关心的是一个随机变量Y对另一个（或

7、一组）随机变量X的依赖关系的函数形式。而在相关分析中，所讨论的变量的地位一样，分析侧重于随机变量之间的种种相关特征。回归分析与相关分析的区别：回归分析则是研究变量之间相互关系的具体形式，它对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，确定一个相关的数学方程式，根据这个数学方程式可以从已知量来推测未知量，从而为估算和预测提供了一个重要的方法。相关分析可以不必确定变量中哪个是自变量，哪个是因变量，其所涉及的变量可以都是随机变量。回归分析则必须事先研究确定具有相关关系的变量中哪个为自变量，哪个为因变量。一般地说，回归分析中因变量是随机的，而把自变量作为研究时给定的非随机

8、变量。4、主成分分析：一种统计方法，它对多变量表示数据点集合寻找尽可能少的正交矢量表征数据信息特征。　内容：　主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标。最经典的做法就是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效

9、地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现再F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1,F2)=0，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P个主成分。　原理：设法将原来变量重新组合成一组新的互相无关的几个综合变量，同时根据实际需要从中可以取出几个较少的综合变量尽可能多地反映原来变量的信息的统计方法叫做主成分分析或称主分量分析，也是数学上处理降维的一种方法因子分析：把若干个变量看成由某些公共的因素所制约，并把这些公共因素分解出来的分析方法。主成分分析与因子分析的异同：　　主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用

10、主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screeningthedata)，b，和clusteranalysis一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成份发对变量简化。（reducedimensionality）d，在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。　　1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。　　2、主成分分析的重点在于解释

11、个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。　　3、主成分分析中不需要有假设(assumptions)，因子分析则需要一些假设。因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specificfactor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。　　4、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因子。　　5、在因子分析中，因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子进入分析），而指定的因子数量不同而结果不同

12、。在主成分分析中，成分的