插补与刀补计算原理

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1、第二章插补与刀补计算原理§2—1概述机床数控的轮廓控制主要问题就是怎样控制刀具或工件的运动轨迹。无论是硬件数控（NC）系统，还是计算机数控（CNC）系统或者微机数控（MNC）系统，都必须有完成插补功能的部分，只是采取的方式不同而已。在CNC或MNC中，以软件（程序）完成插补或软、硬件结合实现插补，而在NC中有一个专门完成脉冲分配计算（即插补计算）的计算装置——插补器。无论是软件数控还是硬件数控，其插补的运算原理基本相同，其作用都是根据给定的信息进行数字计算，在计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进给脉冲，使被控机械部

2、件按指定的路线移动。有关插补算法问题，除了要保证插补计算的精度之外，还要求算法简单。这对于硬件数控来说，可以简化控制电路，采用较简单的运算器。而对于计算机数控系统来说，则能提高运算速度，使控制系统较快且均匀地输给进给脉冲。经过多年的发展，插补原理不断成熟，类型众多。从产生的数学模型来分，有直线插补、二次曲线插补等；从插补计算输出的数值形式来分，有基准脉冲插补（又称脉冲增量插补）和数据采样插补。在基准脉冲插补中，按基本原理又分为以区域判别为特征的逐点比较法插补，以矢量运算为基础的矢量判别法插补，兼备逐点比较和数字积分特征

3、的比较积分法插补，等等。§2—2逐点比较法逐点比较法，顾名思义，就是每走一步都要将加工点的瞬时坐标同规定的图形轨迹相比较，判断其偏差，然后决定下一步的走向，如果加工点走到图形外面去了，那么下一步就要向图形里面走；如果加工点在图形里面，那么下一步就要向图形外面走，以缩小偏差。这样就能得出一个非常接近规定图形的轨迹，最大偏差不超过一个脉冲当量。在逐点比较法中，每进给一步都需要进行偏差判别、坐标进给、新偏差计算和终点比较四个节拍。一、逐点比较法直线插补如上所述，偏差计算是逐点比较法关键的一步。下面以第Ⅰ象限直线为例导出其偏差

4、计算公式。如图2—1所示，假定直线OA的起点为坐标原点，终点A的坐标为A（xe，ye），P（xi，yi）为加工点，若P点正好处在直线OA上，那么下式成立：若任意点　　在直线ＯＡ的上方（严格地说，在直线ＯＡ与y轴所成夹角区域内），那么有下述关系成立：亦即:由此可以取偏差判别函数　为：由　的数值（称为“偏差”）就可以判别出P点与直线的相对位置。即：对于图2—1的加工直线OA，我们运用上述法则，根据偏差判别函数值，就可以获得如图中折线段那样的近似直线。但是按照上述法则进行Fij的运算时，要作乘法和减法运算，这对于计算过程以及

5、具体电路实现起来都不很方便。对于计算机而言，这样会影响速度；对于专用控制机而言，会增加硬件设备。因此应简化运算，通常采用的是迭代法，或称递推法，即每走一步后新加工点的加工偏差值用前一点的加工偏差递推出来。下面推导该递推式:根据式（2—1）及式（2—2）可以看出，新加工点的偏差完全可以用前一加工点的偏差递推出来。综上所述，逐点比较法的直线插补过程为每走一步要进行以下4个节拍（步骤），即判别、进给、运算、比较。（1）判别。根据偏差值确定刀具位置是在直线的上方（或线上），还是在直线的下方。（2）进给。根据判别的结果，决定控制

6、哪个坐标（x或y）移动一步。（3）运算。计算出刀具移动后的新偏差，提供给下一步作判别依据。根据式（2—1）及式（2—2）来计算新加工点的偏差，使运算大大简化。但是每一新加工点的偏差是由前一点偏差Fij推算出来的，并且一直递推下去，这样就要知道开始加工时那一点的偏差是多少。当开始加工时，我们是以人工方式将刀具移到加工起点，即所谓“对刀”，这一点当然没有偏差，所以开始加工点的Fij=0。（4）比较。在计算偏差的同时，还要进行一次终点比较，以确定是否到达了终点。若已经到达，就不再进行运算，并发出停机或转换新程序段的信号。表2

7、-1逐点比较法直线插补运算举例序号工作节拍第1拍:判别第2拍:进给第3拍:运算第4拍:比较1F00=0+∆xF10=F00-ye=0-3=-3E7=E8-1=72F10(=-3)<0+∆yF11=F10+xe=-3+5=2E6=E7-1=63F11(=2)>0+∆xF21=F11-ye=2-3=-1E5=E6-1=54F21(=-1)<0+∆yF22=F21+xe=-1+5=4E4=E5-1=45F22(=4)>0+∆xF32=F22-ye=4-3=1E3=E4-1=36F32(=1)>0+∆xF42=F32-ye=1

8、-3=-2E2=E3-1=27F42(=-2)<0+∆yF43=F42+xe=-2+5=3E1=E2-1=18F43(=3)>0+∆xF53=F43-ye=3-3=0E0=E1-1=0到达终点二、逐点比较法圆弧插补加工一个圆弧，很容易联想到把加工点到圆心的距离和该圆的名义半径相比较来反映加工偏差。这里，我们以第Ⅰ象限逆圆弧为例导出