2.6 对数与对数函数.DOC

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1、§2.6 对数与对数函数1.对数的概念如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中__a__叫做对数的底数,__N__叫做真数.21*cnjy*com2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R);④=logaM.(2)对数的性质①alogaN=__N__;②logaaN=__N__(a>0且a≠1).(3)对数的重要公式①换底公式:

2、logbN=(a,b均大于零且不等于1);②logab=,推广logab·logbc·logcd=logad.3.对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线__y=x__对称.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)=log3(log2y)=0,则x+y=5.( √ )(2)2log510+log50.25=5.( × )(3)已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=2.( √ )(4)log2x2

3、=2log2x.( × )(5)当x>1时,logax>0.( × )(6)当x>1时,若logax>logbx,则ab>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c答案 D解析 a=log36=1+log32=1+,b=log510=1+log52=1+,c=log714=1+log72=1+,显然a>b>c.3.(2013·浙江)已知x,y为正实数,则(  )A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(

4、x+y)=2lgx·2lgy21世纪教育网版权所有C.2lgx·lgy=2lgx+2lgyD.2lg(xy)=2lgx·2lgy【来源:21cnj*y.co*m】答案 D解析 2lgx·2lgy=2lgx+lgy=2lg(xy).故选D.4.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.答案 (-,+∞)解析 函数f(x)的定义域为(-,+∞),令t=2x+1(t>0).因为y=log5t在t∈(0,+∞)上为增函数,t=2x+1在(-,+∞)上为增函数,所以函数y=log5(2x+1)的单调增区间是(-,+

5、∞).5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f=0,则不等式f(x)>0的解集为________________.www.21-cn-jy.com答案 ∪(2,+∞)解析 ∵f(x)是R上的偶函数,∴它的图象关于y轴对称.∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0]上为减函数,由f=0,得f=0.∴f()>0⇒<-或>⇒x>2或0

6、f(1))+f(log3)的值是(  )A.5B.3C.-1D.思维启迪 (1)利用对数的定义将x=log43化成4x=3;(2)利用分段函数的意义先求f(1),再求f(f(1));f(log3)可利用对数恒等式进行计算.答案 (1)D (2)A解析 (1)由x=log43,得4x=3,即2x=,2-x=,所以(2x-2-x)2=()2=.(2)因为f(1)=log21=0,所以f(f(1))=f(0)=2.因为log3<0,所以f(log3)=3-log3+1=3log32+1=2+1=3.所以f(f(1))+f(log3)=

7、2+3=5.思维升华 在对数运算中,要熟练掌握对数式的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式. 已知函数f(x)=则f(2+log23)的值为________.答案 解析 因为2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23),而3+log23>4,所以f(3+log23)=()3+log23=×()log23=×=.题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是(  )(2)已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函

8、数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(log3),c=f(0.2-0.6),则a,b,c的大小关系是(  )A.c

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