体育与健康课时计划[1].1.2

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1、东南大学2002年数学分析试题解答一、叙述定义(5分+5分=10分)1..解：设2.当解：设二、计算（9分×7=63分）1．求曲线的弧长。解：2．设偏导数，解：由=3.求解：令=4.求(解：===5.计算第二型曲面积分其中S是曲面夹于与之间的部分，积分沿曲面的下侧。解：记，则，且===6．求常数，使得曲线积分对上半平面的任何光滑闭曲线L成立。解：7．在曲面上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小。解：设,则,故所求切平面方程为：,求得在三个坐标轴上的截距分别为:=令则,解得16一、证明题（6分+7

2、分+7分+7分=27分）1．讨论级数的敛散性。解:2．设在区间[0，2]上具有二阶连续导数，且对一切，均有。证明对一切，成立。解：，3．证明积分在上不一致收敛。证明:取>)4．证明函数在上一致连续。证明：由拉格郎日中值定理,<东南大学02高等代数东南大学03数学分析东南大学03高等代数东南大学04高等代数东南大学04高等代数解答一、方程系数矩阵行列式为，由克拉默法则，当时，方程组仅有零解；时，方程组有非零解。当时，当时，方程系数矩阵可化为秩为基础解系只有一个解（1，1，1，1，。。。。，1）一、设二次型的相伴矩阵为

3、A，经计算特征多项式为，（2）当时，二次型的秩为2，三、（1）证明：若则，则必为整数，所以则有个不同的整数根，又的次数小于，矛盾。（2）四、由互素，存在对任意的令则，所以对任意的，，所以是直和。五、设正交变换H在标准正交基下的矩阵为A六、证明：由秩的不等式，所以必然存在使得，则的行向量组和的行向量组等价，则它们则相互表出，所以存在矩阵B使得题设成立。七、（1）经计算A的特征多项式为，又，所以为A的一个零化多项式，且0和都为A的特征值，所以为A的最小多项式。（2）由于最小多项式无重根，所以A可对角化，进而A的若当标准

4、型为A的对角形，A=八、（1）容易证明A对加法和数量乘法封闭，所以A为线性变换；（2）变换在标准正交基下的矩阵为A（3）显然九、充分性：反证：若A，B有公共特征值，设为，则也是B‘的特征值，则，考察矩阵则，所以与题设矛盾；必要性：若A，B无公共特征值，则A，B的特征多项式互素，，若AX=XB，则g(A)X=Xg(B)=0，，可逆，所以只有X=0。十、（1）证明：若存在，对任意的都线性相关，则矛盾。所以原题得证。东南大学04数学分析