离散系统的系统函数

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1、第五节离散系统的系统函数单位响应与系统函数系统函数的零极点分布对系统特性的影响稳定性和因果性一．系统函数与单位响应1.系统函数激励为因果序列系统处于零状态线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为上式两边取z变换得只与系统的差分方程的系数、结构有关，描述了系统的固有特性。2．单位响应3.系统的零状态响应4.系统函数的求解（重点）例1（自学）则解：求系统的零状态响应在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换已知离散系统的差分方程为：激励X二．系统函数的零极点分布对系统特性的影响1.由零极

2、点分布确定单位响应2.离散系统的稳定性3.系统的因果性1．由零极点分布确定单位响应展成部分分式：（假设无重根）1)H(z)为单极点极点的性质，决定了的特性。其规律可能是指数衰减、上升，或为减幅、增幅、等幅振荡。2)H(z)为共轭单极点时:共轭单极点实数单极点系统函数的零点只影响h(k)的幅度和相位.极点位置与h(k)形状的关系(因果序列）根据极点分布或收敛域判断系统的稳定性1.H(z)极点全部在单位园内,h(k)衰减,系统稳定2.H(z)极点只要有一个在单位园外,或单位园上有二重极点(包括z=±1

3、),h(k)增幅,系统不稳定.3.H(z)在单位园上有单极点(包括z=±1),h(k)等幅或等幅振荡,系统处于临界稳定.注意:1）对于低阶系统根据系统函数的极点分布判断系统的稳定较易实现,但对于高阶系统求特征根（极点）不容易，可采用朱里准则（根据特征方程系数）判断.2）对一般系统稳定判断原则是：H(z)收敛域是否包含单位园，如包含则系统稳定H(s)收敛域是否包含虚轴，如包含则系统稳定对因果系统：z～s平面的映射关系（自学）s平面z平面极点位置h(t)特点极点位置h(k)特点虚轴上等幅单位圆上等幅原

4、点s=0左半平面收敛域含虚轴衰减(稳定)单位圆内收敛域含单位园减幅(稳定)右半平面增幅单位圆外增幅因果系统函数极点与h(t)，h(k)响应的关系2．离散系统的稳定性对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的。(2)稳定性判据(1)定义：判据1：（时域判断）离散系统稳定的充要条件：单位序列响应绝对可和。判据2：（z域判断）对于因果系统，其稳定的充要条件为：H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内。。3.因果连续系统和离散系统稳定性的比较单位园上有单极点虚轴上有单极点临界稳定

5、的极点含单位圆的圆外含虚轴的右半平面收敛域H(z)的极点全部在单位圆内H(s)的极点全部在左半平面因果序列：极点系统稳定的充要条件离散系统连续系统对任何线性系统稳定判据：收敛域含单位园4．系统的因果性系统因果性的判断方法：z域：系统函数的收敛域在以极点模值最大为收敛半径的园外。输出不超前于输入的系统例解：不稳定系统从时域判断因果系统从z域判断极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆→不稳定（临界稳定）。h(k)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。例2LTI系统，，判断因果性、稳定性。注意：对于因果

6、系统，极点全部在单位圆内则稳定。不稳定②从z域判断：收敛域，极点在处，是非因果系统，收敛域不包含单位圆，系统不稳定。①从时域判断：不是因果系统例3解：分别取z变换系统框图如下，求H(z),h(k)。方法：设中间序列w(k)列差分方程例4解：分子分母同除以z的最高次幂画出系统的框图为：例题5欲使系统图示系统稳定,试确定k的取值范围例题65.LTI系统对复指数序列的响应对离散时间系统，如说明：1.对复指数序列的响应同样是一个复指数序列，只是在幅度上的变化；2.对给定z值，即系统响应是一个是常数（可能是

7、复数）乘以输入，则：系统的特征函数系统的特征值例题7根据上述条件求解下列问题：a)试确定常数a的值；b)试确定系统函数，画出零极点图，标出收敛域，并判断系统的稳定性；已知某离散时间LTI系统满足下列条件：1）当输入信号时，系统的输出2）系统的单位阶跃响应为c)写出该系统差分方程；d)若输入序列试求系统的零状态响应