王划一自动控制原理4-1根迹法

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1、第四章根轨迹法主要内容：1）根轨迹的概念2）绘制根轨迹的基本条件3）根轨迹的绘制规则4)广义根轨迹1第四章根轨迹法§4-1根轨迹§4-2绘制根轨迹的基本法则§4-3广义根轨迹学习指导与小结24-1根轨迹4.1.1.根轨迹的基本概念反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解出闭环系统的根，系统的响应就迎刃而解。但是对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可变参数时，求根更困难了。1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基础上，当某些参数变化时确定闭环极点的一种简单的图解方法。定义：当系统开环传递函数中某一参数从0时

2、，闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹，就称作系统根轨迹。一般取开环传递系数作为可变参数。3式中，K为系统的开环比例系数。Kg=2K称为系统的开环根轨迹增益。系统的闭环传递函数为：举例说明：已知系统的结构图，分析0

3、左移动；s2从（2，j0）点开始沿负实轴向右移动。(3)K=0.5：s1=s2=1，重根。闭环特征根s1，s2随着K值得改变而变化。(4)K>0.5：K=0K=0K=0.5KK56二阶系统有两个特征根，它的轨迹有两条分支。因此：（1）n阶系统有n条分支；（2）每条分支的起点(K=0)位于开环极点处；（3）各分支的终点(K)或为开环零点处或为无限点；（4）(1，j0)点有重根，称为分离点。71.稳定性当K从0时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，因此二阶系统对所有的K值都是稳定的。4.1.2根轨迹与系统性能2j01K=0K=0K=0.5K

4、K8如果高阶系统的根轨迹有可能进入s右半平面，此时根迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。2.稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于1型系统，因而根迹上的K值就是静态速度误差系数Kv。如果给定系统ess的要求，则由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。当K

5、>0.5时，闭环极点为一对共轭复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程。Kp%，但是ts不变104.1.3根轨迹方程研究下图所示负反馈控制系统的一般结构。系统的闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)该系统的特征方程为:D(s)=1+G(s)H(s)=0或G(s)H(s)=1上式称之为系统的根轨迹方程。11系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式式中Kg为系统的根迹增益，zi为系统的开环零点，pj为系统的开环极点。此时称为常规（180）根轨迹，根轨迹方程又可写为：12根轨迹的相角方程：式中，k=0，±1，±2，…（全部整数）。

6、根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上对应的Kg值。相角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。根轨迹的幅值方程：13下面看看怎样按上式表示的幅值条件和相角条件绘制系统的闭环根轨迹图。已知开环零极点分布如图示。p2p3j0p1z1s11123在s平面找一点s1，画出各开环零、极点到s1点的向量。检验s1是否满足相角条件：(s1z1)[(s1p1)+(s1p2)+(s1p3)]=1123=(2k+1)？？如果s1点满足相角条件，

7、则是根轨迹上的一点。寻找14在s平面内满足相角条件的所有s1点，将这些点连成光滑曲线，即是闭环系统根轨迹。在1948年，伊凡思提出了用图解法绘制根迹的一些基本法则，可以迅速绘制闭环系统的概略根迹，在概略根迹的基础上，必要时可用相角条件使其精确化，从而使整个根迹的绘制过程大为简化。154-2绘制根轨迹的基本法则4.2.1绘制180º根轨迹的基本法则法则1根轨迹的起点(Kg=0)和终点(Kg)：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。证明：1+G(s)H(s)=016当Kg=0时，有s=pj(j=1,2,…,n)上式