最大似然估计的通有稳定性——泛函分析在参数估计中的应用

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1、贵州大学硕士学位论文最大似然估计的通有稳定性——泛函分析在参数估计中的应用姓名：赵晓兵申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：曹素元19990501最大似然估计的通有稳定性堂船89船——泛函分析在参数估计中的应用赵晓兵(贵州大学数学系，贵阳，550025)摘要奉趸证明了多参数最大似然估计关于兮布的通有稳定性。美擅词集值映射，通膏稳定性，Fort引理。l引言在统计实践中，通磐我们都接受这样一含事实：如果统计量的分布是近似的，那么它们的统计结果也应该是近似的。例如，在太样本理论中，我们总希望统计量的分布收敛到正态分布，这样我们就可以把相应的统计问题当作

2、正态模型来处理。但我们是否果真能够如此做，却是一卜值得慎重考虑的问题。这就涉及到统计量关于分布是否稳健的问题。关于稳健性，上速观点巴经引赶了人们的重视(见(12])，挨句话说，我们不但对估计量关于样本离群值是否稳健感兴趣，而且也对统计量关于总体分布是否稳健感兴趣。正是基于上述考虑，在本文中我们引进了泛函分折方法来考虑后者。恒是，要成功地运用泛函分析方法来解决统计理论中的同题，并不是一件容易的事。因为适合于泛函分析的许多条件都没有明确的统计背景。例如，参数空间的紧性，空阊的线性性等。因此我们必须谨慎地栓验适合于泛函分析方法的各种条件。本文中，我们证明了

3、多参数最大似然估计关于分布的通有稳定性，因此，从定性稳健性上讲([12])，最大似然估计是通有稳健的，2多参数最大似然估计关子分布的通有稳定性2．1定义和引理定义2．1．1令x是一个空阔，Y是另一卜空阁，2。是Y的所有子集所构成的集合。如果F是x到27的一1＼映射，则F叫做纂值映射，定义2．I．2令x是有距离。的一卜度量空周，Y是一t-拓扑空阁，F是一卜x到Y的襄值映射，VX。ix，G是空间Y中满足长件F(Xo)CG的任一开袋，妇累存在一卜实数6>o，使得当p(x。，y)<6时有F(y)cG，剐称F于xo处上半连续。定义2-l，3令x，Y，F同定义2

4、．1．2中舍义。vxo∈x，G是空间Y中满足条件GnF(x。)≠O的任一开集。如果存在一个实数6>0，使得当p(x。y)<6时有F(y)nG≠o，则称F子xo处下半连续。定义2．1．4如果x到27的集值映射F满足，在室闰X中任意点既上半连续又下半连续，则称F在x上是连续的。定义2．1．5在一个拓扑空闯中，一列稠密开集的交集叫做其上的一个剩余集，由集合论知，剩余篥是第二纲的。引理2．1．1[Fortl令x是一个拓扑空间，Y是一个度量空闻。F是x到27的一个集值映射。yx∈x，如果F(x)是上半连续且是紧集，则在x中存在一个剩余集R，使得F(x)在R上也

5、是下半连续的。证明：见[5]；洼：①妇果x是完备度量空问，则R在X中稠密。②我们知遭。几乎处处”是涸度论中的概念，而此处的“剩余集”就类似于。凡乎处处”，只不过它是在拓扑意义下面言的．2．2基本空间令十(x，8)是随机变量”的一个概率密度函数(p．d．f．)，此处x∈R1且8=(8t，B：。⋯⋯，8。)∈ecR“，e是参数空闽。Rn是n维欧氏空同，进而我们可以考虑定义于R‘×e上，并且满足SUpsup{(x，o)t‘reE9<+cc的全体p．d．f所组成的集合S。在s上，我们定义一个距离函数如下：p(4t，4z)=supsupl十-(x，8)一m2(

6、x，0)

7、+：?巴fR，l唪。(x。8)一唪。(x，8)fdx由题设及[I3]的有关结论知：(i)I4l(x。e)一’：(x，o)f关于x是Lebesuge可积的，从荷I{t(x，8)一粤z(x，o)l关于x仍是Lebesuge可积的。注意刹JR-l●1(x，e)一’2(X，e)Idx

8、JR，j，。(x，日)一●2(】，e)J<+o。。●￡e由此容易证明p是s上一个距离函数。定瑶2．2．1s在p下是完备度量空闻。证明：v{t。(X。9)】-cs为一cauchy列，Ve>O，存在M>O，当m>M时，对任何自然教K>O有p(●。，唪。+。)

9、到{’。(x，8)】．的极限存在且唯一，由Fatou引理(IS])，令k一∞有fJRtI’。(x。e)一’o