导数、推理与证明

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时间:2019-05-22

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1、1.下列推理过程是类比推理的为()A.人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C.通过检验溶液的值得出溶液的酸碱性D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数2.曲线在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.120°3.函数在下列哪个区间内是增函数()A.B.C.D.4.已知函数在区间[a,2]上的最大值为,则a等于()A.B.C.D.或5.已知,则等于()A.2B.0C.-2D.6.如图是导函数的图象,那么函数在下面哪个区间是减函数()A.B.C.D.7.已知函数f(x)=

2、,则方程f(x)在区间[2,10]内零点的个数为()A.1B.2C.3D.08.函数在上是的最大值为()A.B.C.D.9.设、是定义域为R的恒大于零的可导函数,且,则当时有()A.B.7C.D.10.用数学归纳法证明“”时,从到,给等式的左边需要增乘的代数式是()A.B.C.D.11.如果函数y=f(x)的图象如右图,那么导函数的图象可能是()12.已知二次函数的导数为对于任意实数x都有则的最小值为()A.2B.C.3D.二、填空题(本大题共4小题,每题4分,共计16分)13.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于”时,反设应该是14.如果过原

3、点作曲线的切线,那么切线方程是15.函数的图象与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积,已知函数在上的面积为,则函数在上的面积为_____________16.已知,,,。。。,若(a,b),则a=,b=.7三、解答题(本大题共6小题,共计74分)17.(12分)已知,且,求证:.18.(12分)某厂生产某种产品件的总成本(万元),已知产品单价的平方与产品件数成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,产量定为多少时总利润最大?19.(12分)已知均为实数,且,求证:中至少有一个大于0.2xy020.(12分)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点

4、x0处取得极大值4,其导函数y=f¢(x)的图象经过点(0,0),(2,0),如图,(1)求a,b,c的值;(2)若求f(x)的最大和最小值.722.(14分)已知函数处取得极值2。(1)求函数的解析式;(2)实数m满足什么条件时,函数在区间上单调递增?(3)是否存在这样的实数m,同时满足:①;②当恒成立。若存在,请求出m的取值范围;若不存在,说明理由。7参考答案一、选择题:BBCCDBADCCAA二、填空题:13.假设三角形的三内角都大于;14.y=ex;15.;16.a=6,b=35.三、解答题:17.证明:(分析法)因为,且,所以,,要证明原不等式成立

5、,只需证明,即证,从而只需证明,即,因为,,所以成立,故原不等式成立.18.解:设单价为,总利润为,由已知得,把=100,=50代入前式得=250000,即,所以,令,得=25,易知=25是极大值点,也是最大值点。答:产量定为25件时总利润最大。19.证明:(反证法)假设都不大于0,即,则,因为即,与矛盾,故假设错误,原命题成立.20.解:(1),由图象可知,当时,有当时,有7所以当x=2时f(x)有极大值4,因此得…(5分)解得(2)由(1)可知,,由于,列表如下x-1(-1,0)0(0,1)1--0++4↓0↑2所以,当`时,的最大值是4,的最小值是0。

6、21.解:(1),,,(2)猜想:即:(n∈N*)下面用数学归纳法证明(1)n=1时,已证S1=T1;(2)假设n=k时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*),即:则7由①,②可知,对任意n∈N*,Sn=Tn都成立.22.解:(1)已知函数(2)由(3)分两种情况讨论如下:①当恒成立,必须3)(33,41,114,1,14)()(2222min£-³³³+£+-£³+==mmmmmmmmmmfxf或者舍去即因为②当恒成立,必须故此时不存在这样的m值。综合①②得:满足条件的m的取值范围是7

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