基于区间B样条小波有限元的薄板弯曲和振动分析

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1、http://www.paper.edu.cn基于区间B样条小波有限元的薄板弯曲和振动分析向家伟陈雪峰李兵何育民何正嘉西安交通大学机械工程学院，西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室，西安710049wxw8627@163.com摘要：基于二维张量积区间B样条小波及小波有限元理论，研究了用于薄板动静力学分析的区间B样条小波有限元法。在小波有限元用于薄板分析的列式过程中，传统多项式插值被二维区间B样条小波尺度函数取代，对横向位移场进行插值逼近，然后由Galerkin变分原理得到小波有限元求解方程组。该方法具有B样条函数数值逼近精度高和多种用于结构

2、分析的小波基函数的优点。数值算例表明：区间B样条小波有限元法具有求解精度高，求解自由度少等优点，是工程中进行高性能计算的一种有效工具。关键词：区间B样条小波有限元法薄板分析模态分析1.引言小波有限元方法是近年发展起来的一种新的数值分析方法，用尺度函数或小波函数替代传统的多项式作为逼近函数，利用小波多分辨的特性，可以获得用于结构分析的多种基函数，[1][2-5]针对求解问题的精度要求，采用不同的基函数。因此，在数值计算和结构分析领域吸引了众多的研究者。美国学者Basu在比较了工程数值计算不同方法的基础上，认为计算机时代广为使用的有限元法（Finite

3、ElementMethod,FEM），边界元法（BoundaryElementMethod,BEM）和无网格法已经取代了有限差分和Ritz型方法，在不久的将来，这些方法有[5][1]可能被小波方法取代。文献证明了小波数值方法收敛于一大类椭圆算子方程，包括椭圆[2]偏微分算子和奇异积分算子。文献综述了小波有限元理论、自适应小波有限元和小波有限元在求解工程奇异性问题中应用。区间B样条小波（B-splineWaveletontheInterval,BSWI）有限元方法是将BSWI与传统有限元方法相结合，利用BSWI尺度函数或小波函数作为插值函数构造小波有

4、限元求解方程组。利用BSWI优良的数值逼近性以及能够利用一个BSWI单元求出边界和内部多个结点值的特性，在计算中可以用较少的自由度获得较高的精度。同时，区间小波在空间域具有良[6]好的局部化性质，能克服求解边值问题时，在边界上数值振荡这一缺陷。本文采用二维张量积BSWI尺度函数作为场函数的插值基函数，从薄板能量泛函出发，由Galerkin变分原理得到其有限元求解方程组。数值算例验证了BSWI单元的正确和有效性，尤其在求解具有奇异性的斜板静动力学问题时具有很高的精度。2．二维张量积BSWI2经典小波函数是定义在整个实数轴R上或一个周期函数的平方可积实

5、数空间L(R)上[6]的完备基，在求解边值问题时，在边界上会出现数值振荡。为克服这一缺陷，美国学者Chui[7-8]和Quak构造了BSWI，并给出了快速分解和重构算法。有限区间上的小波，对每一个尺-1-http://www.paper.edu.cn度空间和小波空间，其维数是有限维的，这样，任何区间上的函数皆可展成有限维的小波级数，这对于小波有限元分析中单元插值基函数构造具有重要的意义，便于将小波函数作为基函数应用到有限元方法中。构造二维小波最简单的方法是对一维小波多分辨逼近空间取张量积。假设m阶j尺度下2212L(R)空间中的二维张量积BSWI由

6、一维多分辨逼近空间V和V张量积生成，则张量jj12积空间F=V⊗V，其尺度函数为jjjφ=φ⊗φ(1)12式中，φ和φ分别为m阶j尺度下的一维区间B样条尺度函数，表示为12{jjj}φ1=φm,−m+1(ξ)φm,−m+2(ξ)Kφm,2j−1(ξ){jjj}φ2=φm,−m+1(η)φm,−m+2(η)Kφm,2j−1(η)图1给出了阶数m=4尺度j=3下的二维区间B样条尺度函数。ηξ图1二维张量积BSWI尺度函数3薄板弯曲和振动BSWI有限元列式分析3.1矩形薄板BSWI有限元列式图2所示为矩形薄板求解域Ω。lxzyΩlyx图2薄板弯曲矩形求解

7、域Ω[9]由经典Kirchoff板理论，薄板能量泛函为-2-http://www.paper.edu.cn1TΠp=∫∫κDκdxdy−∫∫wq(x,y)dxdy(2)2ΩΩ式中q为均布载荷，w为位移场函数。κ为广义应变阵，如下式所示222∂w∂w∂wTk={−−−2}(3)∂x2∂y2∂x∂yD为弹性矩阵，表示为1µ0D=D0µ10(4)00(1-µ)/2式中µ为泊松比，D0为弯曲刚度，表示为3EtD0=(5)212(1−µ)式中E表示弹性模量，t表示板厚。采用二维张量积BSWI尺度函数作为插值逼近函数，位移场函数表示为w=φ

8、a(6)式中φ如式（1）所示，小波系数列向量为{}Ta=aaaLajj(7)123(2+m−1)(2+m−1)式（6）代入