圆薄板弯曲分析

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1、应用ANSYS对圆薄板的屈曲响应理论计算结果的验证蒋泉丁华建南通大学建筑工程学院（226007）摘要：本文利用有限元软件对圆形薄板的屈曲问题进行了计算，在不同的计算单元模式下，计算结果差异很大。在选取合适的单元形式时，计算结果与理论分析一致。结果表明，常用的板和壳单元对于薄板的屈曲问题有着一定的局限性。在进行在有限元软件计算时，选择合适的单元非常重要。关键词：有限元薄板屈曲问题Abstract:Thefiniteelementsoftwareisusedtosolvethebucklingproblemofcir

2、cularthinplate.Variousresultsariseunderthedifferentelementmodes.Thenumericalresultswillmatchthetheoreticaloneswhentheproperelementmodeisselected.Itisconcludedthattheplateandshellmodeisfiendishtosolvethebucklingproblems.Keywords:Finiteelement;Thinplate;Bucklin

3、gproblem一、前言随着科学技术的发展，板壳已广泛应用于各种工程结构中。因此，其稳定性的研究已成为一个重要课题。屈曲作为板壳失稳的一种表现形式，已经为很多科学家［1－2］及工程师所关注。关于薄圆板在面内压缩力作用下的轴对称屈曲问题早已被不少人所研究，近年来由于对镀层及层合材料脱层问题力学机理的研究，屈曲及其后［3］屈曲理论又有了新的应用。有些文献[4-6]利用摄动—有限元方法研究了椭圆板的弹性失稳。或者利用势能原理和非线性有限元法,分析了具有中心弹簧支承的极正交各向异性圆板的轴对称稳定性。有限元软件由于集成化

4、和易用性受到了人们越来越多的关注，在工程应用和验证理论结果方面有着无可替代的地位。本文对圆板轴对称后屈曲问题利用不同单元进行了有限元计算，并且将结果与理论解相比较。说明了计算单元对薄板屈曲问题的影响，对其他类型的稳定性问题有着一定的借鉴意义。二、一般圆板轴对称后屈曲的理论推导设圆形板的圆周半径为R，厚度为h。用r表示板中面上的点离开板中心的距离，ϖ表示板屈曲以后中面的挠度。圆板在面内力作用下发生轴对称屈曲以后，随边界径向力的增加，后屈曲变形增大，同时在环向产生很高的压应力σ，在这个力作用下，圆板会在环向产生非轴θ

5、1对称第二次分叉屈曲。以下，由挠度ϖ和应力函数F表示的极坐标系中的一对Karman非线性板方程导出控制圆板二次分叉屈曲和后屈曲的方程，将挠度w和应力函数F写成无量纲形式wϖ==+ϖϖ（1a）h01f==+Fff（1b）Eh201其中，带有下标0的量对应二次分叉屈曲前轴对称屈曲变形的量，带有下标1的量表［7］示二次分叉屈曲后的增量。二次分叉屈曲后变形的非线性方程为∇∇22ϖϖϖ=cfi(+)(11+f)+(f+f)(11ϖϖ+)10,xx1,xxxx1,xxx221,000,xx1,1xx,1x,00++−11

6、ffϖϖ2()1ϖ()1f(2a)xx0,xx1,x0,xx1,xx1,x,,xxx1,x−+λϖ()11ϖ+ϖcxγ1,xx1,xx21,002221111∇∇f11=()xxϖϖϖϖϖϖ,xx01−xx22,00−(),1x+,1xx(,1x+,00)(2b)−1ϖϖx0,xx1,x其中2c=−121()ν211∇=++()(),,xxx()xx2()非线性微分方程组（2）的解可以写成级数∞ϖ1=∑Wkkcos()nθk=0（3）∞f1=∑Fkkcos()nsk=0对于固支边界条件，有ϖ=0

7、11x=(4)ϖ=01,xx=1将上式（3）代入方程（2）得到一组非线性常微分方程组，经过运算可以得到方程组在x=0处无奇异性的解的表达式为∞kn()2kmWxaxkm=∑m=0（5）∞Fxbx=kn∑()2kmkmm=0~(k)~(k)将上式代入此非线性常微分方程组，可以得到关于a,b的非线性代数方程，mm通过边界条件作为补充方程，应用数值方法求出具体值，可以最终得到二次分叉后2屈曲响应。三、算例结果应用上面提及的方程组，对图1模型进行分析，图1所示为一圆形脱层薄膜。但脱层薄膜的厚度

8、与脱层区域的半径R以及基底的厚度H相比很小时，可以用周边固定于基底的薄圆板来模拟脱层薄膜。简单起见，脱层薄膜材料定为各向同性的，假定薄膜无初始挠度，在沿边界均σ=σ=const匀分布的径向内力作用下，板中应力状态为：rθ。对于周边固支的圆板，用挠度w表示的轴对称后屈曲变形模态如图2所示。当载荷参数λ超过临界载荷λ参数cr时，随着λ值的增加，挠度w的值以非线性关系增加。同时