弹力第13章_薄板弯曲.ppt

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1、第13章薄板弯曲问题yxzob图13-1薄板的弯曲※13-1基本概念与基本假定在弹性力学中，由两个平行面和垂直于它们的柱面或棱柱面所围成的物体称为平板，简称为板，如图13-1所示。两个平行的表面间垂直距离t称为板的板厚，而平分厚度t的平面称为板的中面。当板的厚度t远小于中面的最小尺寸b（如小于b/8至b/5）,这个板称为薄板，否则称为中厚板。薄板的小挠度弯曲理论，普遍采用以下三个基本假定(Kirchhoff假设)：（1）、变形前垂直于中面的任一直线线段，变形后仍为直线，并垂直于变形后的弹性曲面，且长度不变。这就是Ki

2、rchhoff的直法线假设；（2）、垂直于板中面方向的应力分量σz、τzx、τzy较小，它们引起的形变可以略去不计，但它们本身却是维持平衡所必须的，不能不计。（3）、薄板发生弯曲变形时，中面内各点只有垂直位移w,而无x和y方向的位移，即没有面内位移。以上三项假定的核心是基尔霍夫直法线假设。如图13-1所示，作用在板上的荷载垂直于板面时，薄板发生弯曲变形，当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称为挠度w。薄板弯曲问题采用位移法求解，基本思路是确定位移函数的形式，使其满足位移表

3、示的平衡方程，然后再满足位移分量表示的应力边界条件即得问题解答。基于以上基本假设，可由空间问题的微分方程推导出薄板弯曲问题的基本方程。§13-2薄板弯曲的基本方程（1）、位移函数根据直法线假设（1），并结合几何方程有仍根据假设（1），薄板弯曲后，板的法线与弹性曲面在x方向和y方向的切线保持相互垂直，没有剪应变，即由上式可知上式对z积分，注意到w与z无关，得根据假设（3），薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移（13.1）可见，薄板小挠度弯曲被简化为中面的弯曲问题。只要中面挠度w确定，任何点的位移都确定。⑴、几何方程与

4、应变分量薄板内不等于零的应变分量有如下三个（13.2）分别表示了薄板弹性曲面在x方向和y方向的曲率（3）、本构关系与主要应力由假设（2）,即在本构关系中不考虑次要应力即薄板弯曲问题的本构方程与平面应力问题的完全相同（13.3）（4）、平衡方程与次要应力次要应力即是平衡所必须的，且可根据平衡条件来确定。（13.4）将式(13.3)代入上式得上式对z进行积分，注意到如下边界条件可得其中，D称为板的抗弯刚度，其表达式为（13.5）（13.6）最后，次要应力分量σZ,可根据z方向的平衡方程求得。将式（13.5）代入上式得积分

5、上式得（a）在薄板的下面，有边界条件（b）将式（a）代入式（b），求出后再代入式（a）得（13.7）(5)、薄板的挠曲微分方程在薄板的上边界有（c）将式(13.7)代入式(c)得（13.8a）即（13.8b）方程（13.8）称为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲微分方程。它是薄板弯曲问题的基本方程。从薄板中取出微元体进行平衡分析，同样可推导出该方程式。纵上所述，薄板弯曲问题归结为：在给定的薄板侧面的边界条件下求解挠曲微分方程。求得挠度w后，然后就可以按公式（13-3）、（13-5）和（13-7）求应力分量。§13-3薄板横

6、截面上的内力和边界条件13.3.1薄板内力在绝大多数的情况下，都很难使得应力分量在薄板的侧面边界上精确地满足应力边界条件，而只能应用圣维南原理，即由这些应力分量组成的内力整体地满足边界条件。因此，首先来考察这些应力分量和组成内力的关系。图13-2薄板的内力在x为常数的横截面上，在y为常数的横截面上，将式（13.3）和（13.5）代入式（13.9），（13.10）得（13.11）（13.9）（13.10）（13.12）将式（13.3）和（13.5）与（13.11）进行比较，可以得到用内力矩表示的薄板应力在计算薄板的内力

7、时，主要是计算弯矩和扭矩，横向剪力一般都无须计算。因此，一般工程手册中。只是给出弯矩和扭矩的计算公式或图表。而目前在钢筋混凝土楼板的设计中，大都按照双向的弯矩来配置双向钢筋，而不考虑扭矩的作用。13.3.2、边界条件ABOCxyab图13-3矩形薄板现以图13.3所示的矩形薄板为例，说明各种边界的边界条件。假定该板的OA边固定，OC边简支，AB边和BC边自由。（1）、固定边（几何边界条件）（13.13）（2）、简支边（混合边界条件）,沿着简支边OC，薄板的挠度等于零。如果有分布弯矩作用，则注意到式（13.11），有在

8、整个边界上故上式成为如果外加弯矩（13.14b）(3)、自由边（静力边界条件）然而，根据微分方程理论，弹性曲面的四阶偏微分方程，在每条边界上只可能满足两个边界条件。Kirchhoff通过将扭矩和横向剪力合成为一个边界条件，使问题得到解决。图13.4等效横向剪力如图13.4所示，边界上的扭矩可以变换为等效的横向剪力，与原来的横向剪力归并为一个条件