第06章 薄板与薄壳弯曲元

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1、目录目录第06章薄板与薄壳弯曲元第06章薄板与薄壳弯曲元目目1概述2薄板弯曲元3薄板弯曲杂交应力元录录4薄壳弯曲元2薄板弯曲元概述1概述薄板弯曲元一概述二薄板弯曲元C1连续性函数及其一阶导数在整个求解区域—包括相邻单元1薄板小挠度弯曲的基本方程式边界上满足连续条件，则称该函数具有C1连续性。2矩形薄板弯曲单元3三角形薄板单元构造协调板单元的困难在于要求单元间的挠度函数有C1连续性。因为，在一般二维或三维有限元问题中，应变、应力和变形能只与位移的一阶导数有关，而薄板的应变、应力和变形能都依赖于挠度函

2、数的二阶导数。薄板小挠度弯曲的基薄板弯曲元本方程式薄板弯曲元1薄板小挠度弯曲的基本方程式1.1基本假设板的弯曲性质在很大程度上取决于板的厚度与其他尺(1)弯曲后板的中面保持无应变；寸的比值，也取决于板的挠度w与厚度t的比值。(2)弯曲前板内垂直于申面的截面，在板弯曲后仍保持为平面，并垂直于中面；当板的挠度w小于厚度t时的弯曲问题称为小挠度问(3)挤压应力引起的变形可以略去不计。题，或称小变形问题。1.2位移、应变与应力假设坐标原点O取在中性根据假设，可导出板内任一点的位移为面内，xOy平面与中性面

3、重合，z轴向上，如图所示。一般地称平分板厚度t的平面为中性面。1薄板弯曲元薄板弯曲元1.3静力学方程应变用M、和MM表示在xyxy单位宽度上由sx、和sytxy合成的弯矩和扭矩。应力将该式写成矩阵形式薄板弯曲元薄板弯曲元矩形薄板弯曲单元将该式写成矩阵形式2矩形薄板弯曲单元每个节点的位移向量：(1)线位移(挠度)w(2)角位移(绕x轴的转角)qx(3)角位移(绕y轴的转角)qy若先求得内力矩M，则薄板中的应力为12z2.1位移函数s=M3t位移函数应取为具有12项(4个节点，共12个自由度)：在薄板

4、截面上、下表面处的最大应力为6s=±Mt2z=±t2薄板弯曲元薄板弯曲元三角形薄板单元3三角形薄板单元对于具有曲边或斜边的薄板，通常采用三角形薄板单元。应该说明，这样设定的w在单元内及边界上是连续计算薄板弯曲问题的三角形单元有许多种，如9自由度、的，但是边界上或qxq并不连续，即采用这种位移函数的15自由度、18自由度和21自由度等。这里介绍9自由度的三角y形薄板单元。单元将是非协调元。但已有的计算结果表明，当单元逐步取小时，其解的精度较高，收敛性也较好。三角形薄板单元具有9个2.2有限元计算公式

5、自由度，其位移函数应有9个独立的待定系数。但是，一个w=Nde=Bd完整的三次多项式有如下的10Ke=òòòBTDBdVFe=òòNTpdS个独立项。采用面积坐标可以VeSe克服上述缺点。对于外形规则的矩形薄板，通常采用矩形单元。2薄板弯曲元薄板弯曲元3.1位移函数3.2有限元计算公式采用面积坐标构造的位移函数为位移函数可写成一般插值形式w=aL+aL+aL+aLL+aLL+aLL1i2j3k4jk5ki6ijw=Nd()22()22()22+a7LjLk-LkLj+a8LkLi-LiLk+a9L

6、iLj-LjLi=Niwi+Nxiqxi+Nyiqyi+Njwj+Nxjqxj+Nyjqyj式中a=wa=wa=wa=1é(-w')+(w')ù+Nkwk+Nxkqxk+Nykqyk1i2j3k4LL2êëjjjkúûeTeT1a=1é-w'+w'+w'-w'ùe=BdK=òòòBDBdVF=òòNpdSa=[(-w')+(w')]6êë(Li)i(Li)j(Lj)(Lj)úûVeSe52LiiLij2ij1éù1可以证明：在两相邻三角形薄板单元之间，挠度是连续a7=-wj+wk+2êë(-w'L

7、j)j+(w'Lj)kúûa8=wi+wk-2[(-w'Li)i+(w'Li)j]的，但在公共边的法向导数是不连续的。因此，三角形薄板单元是一种完备的非协调元。1a=-w+w+[(-w')+(w')-(w')+(w')]9ij2LiiLijLiiLij薄板弯曲杂交应力元3薄板弯曲杂交应力元薄壳弯曲元4薄壳弯曲元三薄板弯曲杂交应力元四薄壳弯曲元板弯曲问题最小余能原理泛函式为1基本概念壳体—由两个曲面所限定的空间物体。约束条件壳体厚度t—曲面间的垂直距离。薄壳—壳体厚度与其他两个方向的尺度相比很小时的

8、壳体。放松单元间力平衡条件，可得杂交应力元泛函式若壳体的厚度在各点都相等时，就认为是等厚度壳体，否则称为变厚度壳体。中曲面—与薄壳上、下表面等距离的曲面。柱面壳—中曲面为柱面的壳体。注意：用杂交元很容易解决C1连续性问题。旋转壳—中曲面为旋转面的薄壳。薄壳弯曲元计算特点薄壳弯曲元2计算特点(2)在对壳体进行有限单元离散时，通常采用平面单元和曲面单元两种。(1)薄壳结构是从薄板演变而来的，所以分析薄板时所在平面单元中通常采用矩形平面单元和三角形平面单用的基本假设在薄壳分析中同样有效。