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1、科学宝库中一颗永远闪烁的明珠——钱伟长的“板壳的内禀理论”薄壳和薄板的内禀理论(TheIntrinsicTheoryofThinShellsandPlates)程昌钧上海大学，应用数学和力学研究所，力学系，上海200072仅用力学状态的内禀变量应力和应变严格地从三维弹性理论出发导出的对任意形状板壳都适用的非线性偏微分方程组。薄板和薄壳在工程和技术中是一类应用广泛的结构元件。1940年以前，关于板壳的理论已取得了一些进展，但亦存在一些问题，主要有：(1)所有的理论都是根据先验的克希霍夫-拉夫假设(通常称为直法线假设)来建立的，并给出由中面的三个位移分量()uvw,,所满足的三个平
2、衡微分方程；(2)薄板和薄壳理论是分开来处理的，特别是壳体问题，根据其几何特征的不同，采用不同的坐标系来建立各自的壳体理论，没有一个统一的适合各种形状的板壳理论；(3)板壳理论中的各种近似是混乱的，没有一种系统的简化与近似方法。为了克服板壳理论中的这些缺陷，钱伟长在1941年到1944年建立了一种系统的精确理论，并给出一套统一的近似方法，使得从这一理论出发，根据不同的实际情况，进行不同的简化和近似，[1-5]可以得到适合于各类板壳问题的理论。板壳的内禀理论主要由五篇论文组成，其中第一篇论文是由钱伟长与J.L.Synge（辛吉）联合发表的，是内禀理论的基础与核心。钱伟长早在昆明联
3、大读研究生期间(1938年－1940年)就开始了对板壳精确理论的研究，他提出了以三维弹性力学的应力满足的平衡方程为基础，引入应力应变关系，来导出应变分量表示的壳体应力满足的单元的平衡理论。在该理论中，钱伟长采用了一种全新的坐标系-以中面为012012基础的拖带坐标系(Comovingcoordinates)(xxx,,)：在变形前，中面为x=0，(,)xx为中012面上点的坐标，中面以外各点的坐标为(x,,xx)，并称之为以中面为基础的高斯坐标系，其12中(,)xx为垂直于中面的法线与中面交点的坐标。在变形中，由于坐标系随着板壳一起变形，012因此，已变形物体上各点的坐标()x
4、xx,,是不变的。基于这种拖带坐标系，钱伟长定义的应012012变张量eij为坐标系(xxx,,)在变形后的基本张量gxxxij(,,)与变形前的基本张量'012gij(x,x,x)之差的一半，而eij满足的协调方程是由曲率张量RR$$jikl=′jikl=0的条件来得到0的。这是一组新的协调方程，与以往的板壳理论是不同的。在中面上(x=0)，引进两个张量pqij==()eeijx0=0,ij()ijx,0x0=0，其中pαβ,,qαβ(αβ=12,)称为中面的拉伸变形张量和弯曲变形张量。这六个未知量pq,是内禀理论的基本未知量，它们满足的三个相容方程可由曲率αβαβ张量满足的
5、条件RR$$jikl=′jikl=0得到，而另外三个方程可由三个平衡方程得到。由此可得到两个张量p,q满足的张量方程式。1940年9月，钱伟长到达加拿大多伦多大学，遇见了他的αβαβ导师，应用数学家、英国皇家学会会员辛吉教授。谈话中发现两人都在研究同一个课题，只是出发点不同，钱伟长是直接从应力应变出发来研究板壳理论，而辛吉则从内力素出发来研究板壳理论。辛吉分别称之为“微观”方程组和“宏观”方程组，并认为这两种理论所用的符号有所不同，但实质上是等价的，并且都同时把薄板看成壳体的特殊情况，而将薄板理论与薄壳理论统一了起来。辛吉提出把两种理论合在一起写成一篇“内禀理论”的论文，送发美
6、国加州理工大学，作为TheodorevonKármán（卡门）教授60岁祝寿纪念文集之用。该文以辛吉和钱伟长合作的形式于1941年5月发表在纪念文集之中。该文集只发表了21篇论文，作者都是当时美国各界的权威科学家，例如普林斯顿大学高级研究院院长A.Einstein（爱因斯坦）等，只有钱伟长是一个名不见经传的中国青年，这促使钱伟长对内禀理论的进一步研究。作为内禀理论的”微观”理论的继续，并把这种思路贯彻始终，钱伟长对薄板和薄壳问题进行了更系统的研究，并视薄板为薄壳的一种特殊情况。首先视材料为均匀各向同性的线性弹性0材料，并将应力和应变分量沿厚度方向展成x的台劳级数，把它们代入三个
7、协调方程和三个平衡方程，可得到六个待定量pαβ,,qαβ(αβ=12,)满足的微分方程组。一旦这些量被得到了，则板壳内各点的应力应变以及内力素都可以由相应公式得到。和通常的板壳理论不同，在内禀理论的所有这些方程中均不包含位移分量uii(=123,,)；同时未知量和方程均是用与中曲面有关的内在张量p,q来表示的，所以内禀理论适合于各种不同的坐标系及各种不同形状的薄壳αβαβ和薄板问题。当把内禀理论应用于薄板问题时，由于这时中面为平面，可得到pq,满足的六个微分αβαβ方程。在此基础上，根据板的
