板壳理论 课件 chapter1 弹性薄板弯曲的基本理论.ppt

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1、薄板弯曲理论的求解方法（位移解法）几何方程物理方程边界条件（初始条件）平衡微分方程（运动方程）弹性薄板的基本微分方程（运动方程）问题的解---板内各点位移板的计算问题归结为寻求一个函数，这个函数必须满足基本微分方程，此外在板的周边还应该满足某些静力条件或运动条件，这就是所谓的边界条件。§1.3边界条件图1.4板的边界条件如图1.4所示，在x=0的边缘为简支边；y=0边为固支边；x=a和y=b两边为自由边。简支边界边界处没有外加弯矩边界处有外加弯矩(1.3.1)(1.3.2)(1.3.3)(1.3.4)(1.3.5)固支边界自由边界边界上没有外载荷作用图1.5边界上的扭矩在薄板弯曲的近似

2、理论中，可以将(1.3.5)中的后两个条件合并为一个。考虑任一边界（不一定是自由边界）上所受的扭矩Myx。在微段CD上：在C处有一集中力Myx在D处有一反向集中力Myx内力Myxdx在微段DE上：在D处有一集中力在E处有一反向集中力内力在D处作用由扭矩折算的横剪力单位长度的横剪力因此，可以认为在边界上任意一点处作用有一折算剪力(1.3.6)于是自由边上的边界条件可以表示为在y=b处：同时可以看到，此时在边界的两端有未被抵消的集中剪力R(1.3.7)(1.3.8)后一边界条件表示总的分布剪力等于零，它将原有的两个边界条件合而为一。注意到(1.2.4)和(1.2.10)式，(1.3.8)可

3、以改写为(1.3.9)根据(1.2.4)式，上式又可写为在两条自由边的交点上，例如图1.4的B点处，有总的集中反力(1.3.10)(1.3.11)因此，如果B点没有支承对板施加此集中力，板微分方程的解还需要满足角点条件,即在x=a,y=b处(1.3.12)此时反力大小由(1.3.11)式给出。如果在B点处有支座可以对薄板施加反力，则有下述角点条件,即在x=a,y=b处(1.3.13)边界条件固支边界简支边界自由边界薄板弯曲理论的求解方法（位移解法）几何方程物理方程边界条件（初始条件）平衡微分方程（运动方程）弹性薄板的基本微分方程（运动方程）问题的解---板内各点位移薄板问题的求解就是寻

4、求满足基本微分方程和相应边界条件的挠曲函数。本节通过几个简单的例子来展示薄板问题的求解过程。§1.4简单例题例1均布载荷作用下周边固支的椭圆板。如图1.6所示.图1.6周边固支的椭圆板解：（1）薄板的微分方程（2）边界条件（3）取满足边界条件挠度函数其边界方程可以表示为(1.4.1)显然，上式满足在边界上w=0的边界条件。在边界上有试取挠度函数的表达式为(1.4.2)(1.4.3)考虑到(1.4.4)可见挠曲函数同样满足了在边界上的条件。由上式解得m后不难得到将式(1.4.2)代入薄板的微分方程中，得(1.4.5)(1.4.6)上式即为本问题的精确解，这是因为式(1.4.6)满足了基本

5、微分方程和全部的边界条件。（4）确定挠度函数将(1.4.6)式代入(1.2.4)和(1.2.10)式，就可以得到板的内力分量Mx，My，Mxy，Qx和Qy。将内力分量代入(1.2.14)式，即可求得薄板的全部应力分量及应变分量。[练习]『注意』全部非零的应力分量为9个（sx，sy，sz，txy＝tyx，txz＝tzx，tyz＝tzy），应变分量为3个（ex，ey，gxy)。如果设，则椭圆板就成为跨度为2b的平面应变情形下的固支梁；如果设a=b，就可以得到周边固支圆板的准确解答[习题]。（5）求解内力及应力分量求解步骤（1）薄板的微分方程（2）边界条件（3）取满足边界条件挠度函数试取挠度

6、函数验证满足边界条件（4）确定挠度函数（5）求解内力及应力分量例2设一矩形薄板四边简支，板的四个角点处的支承构件发生了不相等的沉陷，研究此时板中的应力。在小变形的情况下，可以认为板的四个角点处发生不相等的沉陷实际上等价于只有一个角点发生了沉陷。这是因为刚体运动不会影响薄板内的应力分布，因此可以在沉陷后的四个角点中任意取三个角点所形成的平面作为基准面，而认为第四个角点相对于此基准面有沉陷即可。如图1.7所示.解：（1）薄板的微分方程（2）边界条件设四边简支矩形薄板在角点B处发生了相对于基准面的沉陷，沉陷大小为x，则BC边和AB边的挠度是(1.4.7)在OA边和OC边，边界条件是在这两个边

7、界上还有薄板弯矩的边界条件(1.4.8)(1.4.9)取薄板的挠度曲线函数为(1.4.10)（3）取满足边界条件挠度函数不难验证，这一挠曲函数可以满足所有的边界条件。[练习]（4）确定挠度函数将式(1.4.10)代入薄板的微分方程中可以满足。因此(1.4.10)式就是问题的正确解答。(1.4.11)（5）求解内力及应力分量[练习]应该注意的是虽然分布反力Vx和Vy都为零，但是集中反力是存在的，其大小为(1.4.12)可见薄板在B点受有向下的反力