导数在函数中的应用94838 (2)

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1、第十一讲导数在函数中的应用教学目标:1、了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间.2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).一、知识回顾课前热身知识点1、函数的单调性与导数设函数y=f(x)在某区间(a,b)内可导,若x∈(a,b),f′(x)>0,则f(x)在区间(a,b)内为增函数;若x∈(a,b),f′(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内为减函数;若x∈(a,b),f′(x)=0,则f(x)在区间(a,b)内为常数函数知识点2、函数的极值与导数(1)函数

2、的极小值:若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,且f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则a点叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值:若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,且f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则b点叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值,极大值和极小值统称为极值.[探究] 导数值为0的点一定是函数的极值点吗?“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件

3、?提示:不一定.可导函数的极值点导数为零,但导数为零的点未必是极值点;如函数f(x)=x3,在x=0处,有f′(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点;其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件.知识点3、函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件:一般地,如果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值

4、,最小的一个是最小值.[探究] 函数的极值和函数的最值有什么联系和区别?提示:极值是局部概念,指某一点附近函数值的比较,因此,函数在极大(小)值,可以比极小(大)值小(大);最值是整体概念,最大、最小值是指闭区间[a,b]上所有函数值的比较.因而在一般情况下,两者是有区别的,极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.二、例题辨析推陈出新例1、已知函数f(x)=ax+xlnx,且图象在点处的切线斜率为1(e为自然对数的底数).(1)求实数a的值;(2)设g

5、(x)=,求g(x)的单调区间;(3)当m>n>1(m,n∈Z)时,证明:>.[解答] (1)f(x)=ax+xlnx,f′(x)=a+1+lnx,依题意f′=a=1,所以a=1.(2)因为g(x)==,所以g′(x)=.设φ(x)=x-1-lnx,则φ′(x)=1-.当x>1时,φ′(x)=1->0,φ(x)是增函数,对∀x>1,φ(x)>φ(1)=0,即当x>1时,g′(x)>0,故g(x)在(1,+∞)上为增函数;当0φ(1)=0,即当00,故g(x)在(

6、0,1)上为增函数.所以g(x)的单调递增区间为(0,1),(1,+∞).(3)要证>,即证->lnn-lnm,即lnm>lnn,>.(*)因为m>n>1,由(2)知,g(m)>g(n),故(*)式成立,所以>.变式练习1.已知函数f(x)=-2x2+lnx,其中a为常数.(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.解:(1)若a=1时,f(x)=3x-2x2+lnx,定义域为(0,+∞),f′(x)=-4x+3==(x>0).当f′(x)>0,x∈(0,1)时,函数f(x)=3x-2x2+lnx单调递

7、增.当f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,函数f(x)=3x-2x2+lnx单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)f′(x)=-4x+,若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,即在[1,2]上,f′(x)=-4x+≥0或f′(x)=-4x+≤0,即-4x+≥0或-4x+≤0在[1,2]上恒成立.即≥4x-或≤4x-.令h(x)=4x-,因为函数h(x)在[1,2]上单调递增,所以≥h(2)或≤h(1),即≥或≤3,解得a<0或0

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