用电介质镜像法计算线电荷与介质圆柱所形成的电场

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1、万方数据第29卷第12期2010年12月大学物理COLLEGEPHYSICSV01．29No．12Dee．2010用电介质镜像法计算线电荷与介质圆柱所形成的电场王福谦(长治学院电子信息与物理系，山西长治046011)摘要：利用电介质镜像法计算线电荷与介质圆柱体所形成的电场，给出电势与场强的解析表达式，进一步得出等势线与电场线方程，并利用软件MATLAB绘制出电场线和等势线(面)图予以验证．、关键词：电介质镜像法；线电荷；介质圆柱体；电势分布；场强分布中图分类号：O441．1文献标识码：A文章编号：1000．0712(2010)12-0012·06关于电介质镜像法，在有关电磁场理

2、论或电动力学教材中，一般仅讨论电场内两种介质的边界为平面的情况，很少涉及边界为圆柱面的情况．本文将用非等势面边界面镜像法，针对介质边界为圆柱的情形，给出计算线电荷与介质圆柱体所形成的电场的方法，得出电势与场强的解析式，进一步给出等势线(面)与电场线方程，并利用数学软件MATLAB绘制出电场线和等势线图予以验证．1线电荷电场内存在电介质圆柱时镜像的得出如图1所示，在介电常数分别为占。和占：的两种均匀电介质的分界面

3、s上，存在束缚面电荷，则S处电介质中的电场E，可看作由两部分组成：一是s处束缚面电荷产生的层’，另一是除S处的束缚面电荷外，自由电荷与其他的束缚电荷(统称“其他场源”)

4、共同(在真空中)激发白JE，则E。=E+E’．现求E’在s面两侧的法线分量E7。。(在8。一侧)与E7。：(在占：一侧)与E的法线分量E。(此量在S面两侧相同)的关系．图1两种介质的分界面在S面两侧，介质内总场强的法向分量分别为E。，=E。+E：．和E。：=E。+E：2．束缚面电荷的电场在s面两侧法线分量的关系为E乏=一E：。(此与自由面电荷的情况相同)，又因5面上无自由电荷，故由边值关系D以=D。。，有占2(E。+E：12)=占l(E。+E：1)(1)则E：。=鬲e2--81E。，E2一占占：2+-占8。1E。‘(2)在介质占。中，在距半径为口、介电常数为占：的电介质圆柱轴线

5、距离为b的A处，平行地放置电荷线密度为A的荷电线．图2画出的是上述情况的横截面．曰点为A点在介质柱体截面圆内的反演点，曰点到圆心的距离为oB=争．设P为界面上任意一点，P点相对于圆心O、反演点曰及A点的位矢分别为rs、R：和R。，见图2．因在均匀介质中，凡有自由电荷处，必有束缚电荷，故处于介质占．中的线电荷A会在其所在处激起束缚电荷A，，A与A，一起构成“其他场源”，其合成电荷线密度为A+A，=旦，此线电荷在P点所占rl产生的场强为层=去iA面1gs=去挚s(3)图2线电荷与介质圆柱收稿日期：2009—11—24；修回日期：2010—07—19作者简介：王福谦(1957一)，男

6、，山西临猗人，长治学院物理系副教授，主要从事电磁学与电动力学的教学研究工作万方数据第12期王福谦：用电介质镜像法计算线电荷与介质圆柱所形成的电场13由上述分析司知，图2中的“其他场源”在两种介质中所产生的场强均应由式层=丢≥刍露计算，其中R为任意场点相对于线电荷A(及A，)的位矢．由图2，可求得介质分界面S上P点场强E的法向分量E。为En=踟sa=去瓦1c。sa(4)由式(2)得E：2=一占e，2+-8占1．E。=A82一911一万i—82+—81一Rs∞蛐将上式与式(3)对照可知，产生场强E乞为位于A处、密度为一z2-elA的线电荷，即6"2tS]耻一壶焉去Rs㈥式(5)即为

7、S面上的束缚面电荷在S上(位于占：一侧)所激发的场强．该式说明，若称线电荷一塑A占21-占l为镜像电荷，则其与位于介质8。中A处的线电荷A的位置重合．这样，由叠加原理可得S面上任意一点P处介质占：一侧的总场强为即E倒=去斧1s一去2蓦忐耻1T占18，+占IR：5壶鲁斧12．rre。㈤l82+8l尺：一5、⋯由以上讨论可知，对介质圆柱体内部区域，因镜像电荷必须落在介质圆柱体截面圆外部，故观察式(6)可知，镜像电荷仅有一个，即位于A处的线密度为A，：一生≥A的像线电荷．因此，荷电线与极化电荷在电介质圆柱内部共同产生的电场，如同整个空间充满介质F。，而由位于A处的线密度为A的原线电荷

8、及线密度为A，：一垒≥A的像线电荷两者共同产生，这两个线电荷的等效线密度为_兰}A．其情形如图3所示，其中R为介质圆柱截面圆内任意一点相对于A的位矢．求解介质圆柱体外部电场时，由于像电荷不能位于待求区域内。故不能直接将式(4)代入式(2)求lY一～、祷-一番，?4(反o)ie

9、／8l图3产生介质柱体内部电场的等效电荷解E：。，而需将式(4)变换成另一个物理意义不同、但在P点仍与原来等值的表示式．见图2，图中B点为A点对介质截面圆的反演点，即有。曰=竿．对于P点，有以下几何关系署=等一1RR口