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1、第26卷第7期大学物理Vol.26No.72007年7月COLLEGEPHYSICSJuly2007求解线电荷与导体圆柱形成电场的新方法张国才,陈浩(华南师范大学物理与电信工程学院,广东广州510006)摘要:用保角变换方法,将导体圆柱外区域映射为单位圆内区域,线电荷位置映射为单位圆圆心,从而直接写出导体圆柱外电势,并对结果进行详细讨论,还利用软件画出等势线簇图形.关键词:保角变换;静电势;等势线中图分类号:O441.1文献标识码:A文章编号:100020712(2007)0720029203处理线电荷与导体圆柱所形成电场
2、的问题,一1.1第一次保角变换[1,2]般文献采用的是用电象法求解.不带电导体柱现将图1中导体圆柱内区域映射为图2的下半内有两镜象电荷,外加柱外线电荷,直接写出圆柱外平面,其对应映像点如下表1所示,其中k待定.根[3]电势是不容易的.根据无限长导体圆柱与线电荷所据分式线性映射公式:形成的场的特点,每一个与柱轴垂直的截面上的场是相同的,因此可将三维问题转化为二维来解决.本文通过两次简单的保角变换,将导体圆柱外区域映像为单位圆内区域,线电荷位置映像为单位圆圆心,从而直接写出导体圆柱外电势,并结合数学软件画出等势线簇图形,最后将
3、结果引伸到导体带电情况下圆柱外的电势.1线电荷与电势为零的导体圆柱外电场设一条与导体圆柱(无限长)轴平行的无限长均匀带电直线,其线电荷密度为ρ,位置在z平面的图2(b,0)处,b>a,a为导体圆柱半径;圆柱电势为零,其圆心与z平面原点重合,如图1所示.表1对应点z平面w0平面1ia-k2a03-iakw0-w1w3-w1z-z1z3-z1=(1)w0-w2w3-w2z-z2z3-z2得w0+kk+kz-ia-ia-ia=图1w0kz-a-ia-a化简后为收稿日期:2006-09-21作者简介:张国才(1983—),男,广东
4、兴宁人,华南师范大学物理与电信工程学院2005级物理课程教学论专业硕士研究生.30大学物理第7卷z-a-ab+ax+ayiw0=ik(2)2(5)z+a-a+bx+byi式(2)即为z平面经过保角变换为w0平面的变此式即为z平面变换到w平面的公式.换公式.图1变换到图2时,线电荷的位置变为2电势电场的计算及讨论b-ab-a0,ik,令h=k,则线电荷在w0平面的b+ab+a在w平面上,单位圆内电势(即z平面导体圆位置为(0,ih).柱外的电势)可写为2.2第二次保角变换ρ1V=ln(6)为了实现简化目的,将w0平面上线电荷
5、位置2πε0w(0,ih)映像为w平面的原点,并将w0上半平面映(源强ρ在保角变换中不变),将式(5)代入式(6)得像为单位圆内,如图3所示.根据以上条件,当w0=ρ1ρ-a2+bx+byiV=ln=ln=2πε0w2πε0-ab+ax+ayi222ρ(-a+bx)+(by)ln22(7)4πε0(-ab+ax)+(ay)于是等势面方程为222(-a+bx)+(by)22=c(8)(-ab+ax)+(ay)化简后为a2b(1-c)22(a-b)2(a+b)22acx+22+y=222ac-b(-b+ac)(9)222因为x
6、+y>a,且b>a,由式(8)可得c>1.由式图3(9)可知,等势线由一系列在x轴上不同圆心的圆2ab(c-1)组成,圆心的坐标为22,0,半径为R=ih时,w=0,又因为反演点对映射后仍为反演点对,ac-ba(b-a)(b+a)所以w0=-ih时,w=∞,代入分式线性映射公c.如图4所示.当c由1逐渐变化22-b+ac[4]式2bw0-α到2时,圆心坐标由z平面的原点向-∞趋近,半w=λ(3)aw0-β2b径也由a趋向于无穷大.当c从2趋于∞时,圆心可得α=ih,β=-ih.又因为v0=0线变为单位圆av0-ih由右到左
7、趋近于点(b,0),半径趋于0.图4选取a=的圆周,故有w=λ=1,λ=1,因v0+ih3,b=16时,用Mathematica5作出电势线簇.坐标iδ中心小圆为导体圆柱边界.为λ=e,δ为任意实数,可以取δ=0,λ=1.最后得到w0平面映射为w平面的公式:w0-ihw=(4)w0+ih1.3公式代换将式(2)代入式(4)可得:z-aik-ihw0-ihz+aw===w0+ihz-aik+ihz+az-ab-aik-ikz+ab+a=图4z-ab-aik+ikz+ab+a第7期张国才,等:求解线电荷与导体圆柱形成电场的新方
8、法31由式(6)或在图3中运用高斯定理,可以得到z以通过叠加原理求出圆柱外的电势,得222平面导体圆柱外场强的表达式:q1ρ(-a+bx)+(by)V=ln22+ln22ρ2224πε0x+y4πε0(-ab+ax)+(ay)ρ(-a+bx)+(by)E==2πε22(12)2πε0w0(-ab+ax)
