动力反应的数值积分方法

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1、王家林编著动力反应的数值积分方法基于模态叠加或向量叠加的动力分析方法有一个不可回避的缺点：只能适用于线弹性结构。当外荷载较大时，结构可能进入弹塑性，或者位移较大时进入几何非线性，在这种情况下，所有基于叠加原理的方法都不再适用。时域逐步积分法将时间过程进行离散（一般离散为等步长），研究在一系列离散时间点上的值，一般假设结构本构关系在时间微小步长内仍然是线性的，但不同时间段可以发生变化，以此来适应结构的非线性分析。常用的时域逐步积分法有：（1）分段解析法（2）中心差分法（3）线性加速度法（4）Newmark法（5）Wilson法（6）状态空间精细积分法按是否需要联立

2、求解耦合的动力学方程组，分为隐式和显式两种：（1）隐式方法：逐步积分公式需要求解耦合的动力学方程组，计算量大，如Newmark法、Wilson法。（2）显式方法：逐步积分公式是解耦的方程，无需联立求解，计算工作量小，如中心差分法。逐步积分法的评价标准：（1）收敛性：当离散时间步长t0时，数值解是否收敛于精确解。N（2）计算精度：截断误差与时间步长t的关系，若误差O(t)，则称方法具有N阶精度。（3）稳定性：随时间步长的增长，数值解是否会变得无穷大（即远离精确解）。（4）计算效率：计算花费时间的多少。1王家林编著符号约定：t,0[)，对于一个时间间

3、隔[t,t]，引入相对时间tt，ii1i,0[t]。各时间点的物理量用下标i1、i和i1区分。1分段解析法：如果P(t)可以表示为分段多项式，则运动方程可以解析积分，这种方法的误差来源于对外荷载的假设。在整个时间轴上，运动方程均能得到严格满足。1.1仅由初始条件引起的解考虑标准化的运动方程：2y()2y()y()0nn如果已知初始条件：0时，y)0(y，y)0(y，ii则解可表示为：y()en[ycos(yinyi)sin]yA()yA()iDDi1i2DS()A()C

4、()S()，A()12D其中：S()ensin()，C()encos()DD21，Dn211.2分段线性荷载假设在t[t,t]时间段内，荷载可表示为时间的线性函数：ii1PPi1iP(t)P(tt)iitPPi1i记：，引入tt，有：iit2王家林编著P()Pii在时间段t[t,t]内，单自由度运动方程可表示为：ii1mu()uc()ku()P()Pii初始条件为：0时，u)0(u、u)0(uii运动方程的解由通解和特解

5、两部分组成：通解：u()en(AcosBsin)cDD1ci特解：u()(P)pii2kkn1icu()u()u()e(AcosBsin)(P)cpDDii2kk代入初始条件后得到：u()AAAencosAensin012D3D其中：PcP2iiiiA02kkkkniA1kAuA2i01A(uAA)3in21D位移求导可得：u()A(AA)encos(AA)ensin1D

6、3n2DD2n3D取t可得t时刻的位移和速度：i1uAuBuCPDPi1iiii1uA'uB'uC'PD'Pi1iiii13王家林编著A~D、A'~D'系数公式见教材P134。当结构为线性且时间步长t为常数时，各系数A~D、A'~D'均为常数，根据递推公式可以非常简单地进行快速计算。1.3分段三次多项式荷载（EdwardWilson）选取模态标准动力学方程为：2y()2y()y()R()nn将模态荷载R()表示为分段三次多项式：23R()RRRRiiii26RR对于时间间隔

7、内的线性荷载，Ri1i，R0，R0iiit对于时间间隔内的三次多项式荷载，如果给定的是各时间点的R和R，则ii可由下面两式确定R、R：ii23ttRRRtRRi1iiii2622tRRtRRi1iii2运动微分方程的解可表示为通解和特解之和：23y()bS()bC()bbbb123456相关的速度和加速度为：2y()bS()bC()b2b3b12456y()bS()bC()2b