2020版高考数学课时跟踪检测（三十一）系统题型——平面向量的数量积及应用（含解析）

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1、课时跟踪检测（三十一）系统题型——平面向量的数量积及应用[A级　保分题——准做快做达标]1．(2019·牡丹江第一高级中学月考)已知圆O是△ABC的外接圆，其半径为1，且＋＝2，AB＝1，则·＝(　　)A.　　　　　　　　　B.3C.D．2解析：选B　因为＋＝2，所以点O是BC的中点，即BC是圆O的直径，又AB＝1，圆的半径为1，所以∠ACB＝30°，且AC＝，则·＝

2、

3、·

4、

5、cos∠ACB＝3.故选B.2.(2019·广州综合测试)如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，P是弧AB上的一点，

6、且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则·的最大值为(　　)A.B.C．1D．解析：选C　∵扇形OAB的半径为1，∴

7、

8、＝1，∵OP⊥OB，∴·＝0.∵∠AOB＝，∴∠AOP＝，∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝1＋

9、

10、cos＋

11、

12、·

13、

14、cos≤1＋0×＋0×＝1，故选C.3．(2019·南昌模拟)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a·b＝0是α＝kπ＋(k∈Z)的(　　)A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也

15、不必要条件解析：选B　a·b＝cosα·cos(－α)＋sinα·sin(－α)＝cos2α－sin2α＝cos2α，若a·b＝0，则cos2α＝0，∴2α＝2kπ±(k∈Z)，解得α＝kπ±(k∈Z)．∴a·b＝0是α＝kπ＋(k∈Z)的必要不充分条件．故选B.4.(2019·浙江部分市学校联考)如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB＝2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则·的最大值是(　　)A．2B.1C．0D．－1解析：选B　连接BC，则∠ACB＝90°.∵AP⊥PC，∴·＝·(＋)

16、＝·＝(＋)·＝2.依题意可证Rt△APC∽Rt△ACB，∴＝，即

17、

18、＝.∵

19、

20、2＋

21、

22、2＝

23、

24、2，∴

25、

26、2＋

27、

28、2＝4≥2

29、

30、

31、

32、，即

33、

34、

35、

36、≤2，当且仅当

37、

38、＝

39、

40、时取等号，∴

41、

42、≤1，∴·＝2≤1，∴·的最大值为1，故选B.5．(2019·四川双流中学月考)已知平面向量，满足

43、

44、＝

45、

46、＝1，·＝－.若

47、

48、＝1，则

49、

50、的最大值为(　　)A.－1B.－1C.＋1D．＋1解析：选D　因为

51、

52、＝

53、

54、＝1，·＝－，所以cos∠APB＝－，即∠APB＝，由余弦定理可得AB＝＝.如图，建立平面直角坐标系

55、，则A，B，由题设点C(x，y)在以B为圆心，半径为1的圆上运动，结合图形可知，点C(x，y)运动到点D时，有

56、AC

57、max＝

58、AD

59、＝

60、AB

61、＋1＝＋1.故选D.6．(2019·重庆梁平调研)过点P(－1,1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，则·的最小值为(　　)A.B.C.D．2－3解析：选C　观察圆C的方程可知，圆心C在直线y＝x－2上运动，则

62、PC

63、≥＝2.设∠CPA＝θ，则·＝

64、

65、

66、

67、cos2θ＝

68、

69、2(2cos2θ－1)＝(

70、

71、2－1)＝

72、(

73、

74、2－1)·＝

75、

76、2＋－3，令

77、

78、2＝x，设y＝x＋－3，则y＝x＋－3在[8，＋∞)上为增函数，故·≥8＋－3＝，故选C.7.(2019·北京四中期中考试)如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝4，BC＝2，D是AC边上一点，且＝－，则·＝________.解析：根据题意得·＝·(－)＝·－×16＋×4－·＝－·－＝－×4×2×cos120°－＝－4.答案：－48．若a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最大值为________．解析：依题意可设a＝(1,0

79、)，b＝(0,1)，c＝(cosθ，sinθ)，则(a－c)·(b－c)＝1－(sinθ＋cosθ)＝1－sin，所以(a－c)·(b－c)的最大值为1＋.答案：1＋9．(2018·泰安二模)已知平面向量a，b满足

80、b

81、＝1，且a与b－a的夹角为120°，则

82、a

83、的取值范围为________．解析：在△ABC中，设＝a，＝b，则b－a＝－＝，∵a与b－a的夹角为120°，∴∠B＝60°，由正弦定理得＝，∴

84、a

85、＝＝sinC，∵0°

86、a

87、∈.答案：10．(

88、2019·河南豫南豫北联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝.(1)若sinA＝，求cosC；(2)若b＝4，求·的最小值．解：(1)在△ABC中，由cosB＝得，sinB＝，∵sinB＝>sinA，∴B>A，故A为锐角，∴cosA＝，∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝.(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≤13，∴·＝accos(π－B