【2020版高考】数学新设计一轮复习新课改省份专用课时跟踪检测（三十一） 平面向量的数量积与平面向量应用举例 含解析

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1、课时跟踪检测(三十一)　平面向量的数量积与平面向量应用举例一、题点全面练1．平面向量a，b满足

2、a

3、＝1，

4、b

5、＝，(a＋2b)·a＝2，下列说法正确的是(　　)A．a⊥b　　　　　　　B.a与b同向C．a与b反向D．a与b夹角为60°解析：选B　因为(a＋2b)·a＝1＋2××1×cosθ＝2，得cosθ＝1，所以θ＝0°，则a，b同向，故选B.2．(2018·长春模拟)向量a，b均为非零向量，若(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)A.B.C.D．解析：选B　因为(a－2b

6、)⊥a，(b－2a)⊥b，所以(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，所以b2＝a2，a·b＝，cos〈a，b〉＝＝＝.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.3.(2019·茂名联考)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则·＝(　　)A．2B.3C．6D．12解析：选C　·＝(＋)·(－)＝(＋)·(2－)＝2

7、

8、2＋·－

9、

10、2＝8＋2×2×－4＝6.4．(2018·贵州黔东南州一模)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝9

11、0°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·＝(　　)A．－B.C．－D．解析：选D　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．又＝2，∴Q，∴＝，＝，∴·＝＋1＝.故选D.5．(2019·贵阳模拟)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，计算·的值为(　　)A．10B.11C．12D．13解析：选B　以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，

12、0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以·＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.故选B.6．(2018·武汉模拟)在△ABC中，AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且＝3，则·的值是(　　)A．－B.－C．－D．－解析：选A　∵

13、

14、2＝2＝(

15、

16、2＋

17、

18、2＋2·)＝(12＋22＋2×1×2×cos120°)＝，∴

19、

20、＝，∴

21、

22、＝.∵

23、

24、2＝

25、

26、2＋

27、

28、2－2

29、

30、·

31、

32、·cos120°＝4＋1－2×2×1×＝7，∴

33、

34、

35、＝，

36、

37、＝，∴·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝

38、

39、2－

40、

41、2＝－＝－，故选A.7．(2018·长春一模)已知在正方形ABCD中，＝，＝，则在方向上的投影为________．解析：设正方形ABCD的边长为4，建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得C(4,4)，E(2,0)，F(0,1)，所以＝(－2，－4)，＝(－4，－3)，则在方向上的投影为＝＝4.答案：48．边长为2的等边△ABC所在平面内一点M满足＝＋，则·＝________.解析：∵·＝2×2×cos＝2，∴·＝(－)·(－)＝·

42、＝·－

43、

44、2－

45、

46、2＋·＝－×22－×22＋＝－.答案：－9．已知点M，N满足

47、

48、＝

49、

50、＝3，且

51、＋

52、＝2，则M，N两点间的距离为________．解析：依题意，得

53、＋

54、2＝

55、

56、2＋

57、

58、2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为

59、

60、＝

61、－

62、＝＝＝4.答案：410．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足

63、

64、＝，则·的取值范围为________．解析：不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直

65、角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0＜a＜1)，∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝22＋，∵0＜a＜1，∴由二次函数的知识可得·∈.答案：11．已知

66、a

67、＝4，

68、b

69、＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①

70、a＋b

71、，②

72、4a－2b

73、；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(k

74、a－b)．解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)①∵

75、a＋b

76、2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴

77、a＋b

78、＝4.②∵

79、4a－2b

80、2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴

81、4a－2b

82、＝16.(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.当k＝－7时，(a＋2b)⊥(ka