高考数学一轮复习课时跟踪检测（三十一）平面向量的数量积与平面向量应用举例新人教A版

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1、课时跟踪检测(三十一)　平面向量的数量积与平面向量应用举例一、题点全面练1．平面向量a，b满足

2、a

3、＝1，

4、b

5、＝，(a＋2b)·a＝2，下列说法正确的是(　　)A．a⊥b　　　　　　　B.a与b同向C．a与b反向D．a与b夹角为60°解析：选B　因为(a＋2b)·a＝1＋2××1×cosθ＝2，得cosθ＝1，所以θ＝0°，则a，b同向，故选B.2．(2018·长春模拟)向量a，b均为非零向量，若(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)A.B.C.D．解析：选B　因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即a2

6、－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，所以b2＝a2，a·b＝，cos〈a，b〉＝＝＝.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.3.(2019·茂名联考)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则·＝(　　)A．2B.3C．6D．12解析：选C　·＝(＋)·(－)＝(＋)·(2－)＝2

7、

8、2＋·－

9、

10、2＝8＋2×2×－4＝6.4．(2018·贵州黔东南州一模)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·＝(　　)A．－B.C．－D．解析：选D　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标

11、系，如图所示，则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．又＝2，∴Q，∴＝，＝，∴·＝＋1＝.故选D.5．(2019·贵阳模拟)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，计算·的值为(　　)A．10B.11C．12D．13解析：选B　以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以·＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.故选B.6．(2018·武汉模拟)在△ABC中，AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，O是BC的中点，M是

12、AO上一点，且＝3，则·的值是(　　)A．－B.－C．－D．－解析：选A　∵

13、

14、2＝2＝(

15、

16、2＋

17、

18、2＋2·)＝(12＋22＋2×1×2×cos120°)＝，∴

19、

20、＝，∴

21、

22、＝.∵

23、

24、2＝

25、

26、2＋

27、

28、2－2

29、

30、·

31、

32、·cos120°＝4＋1－2×2×1×＝7，∴

33、

34、＝，

35、

36、＝，∴·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝

37、

38、2－

39、

40、2＝－＝－，故选A.7．(2018·长春一模)已知在正方形ABCD中，＝，＝，则在方向上的投影为________．解析：设正方形ABCD的边长为4，建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得C(4,4)，E(2,0)，F(0,1)，所以＝(－2，－4)，

41、＝(－4，－3)，则在方向上的投影为＝＝4.答案：48．边长为2的等边△ABC所在平面内一点M满足＝＋，则·＝________.解析：∵·＝2×2×cos＝2，∴·＝(－)·(－)＝·＝·－

42、

43、2－

44、

45、2＋·＝－×22－×22＋＝－.答案：－9．已知点M，N满足

46、

47、＝

48、

49、＝3，且

50、＋

51、＝2，则M，N两点间的距离为________．解析：依题意，得

52、＋

53、2＝

54、

55、2＋

56、

57、2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为

58、

59、＝

60、－

61、＝＝＝4.答案：410．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足

62、

63、

64、＝，则·的取值范围为________．解析：不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0＜a＜1)，∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝22＋，∵0＜a＜1，∴由二次函数的知识可得·∈.答案：11．已知

65、a

66、＝4，

67、b

68、＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①

69、a＋b

70、，②

71、4a－2b

72、；(2)当k为何

73、值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)①∵

74、a＋b

75、2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴

76、a＋b

77、＝4.②∵

78、4a－2b

79、2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴

80、4a－2b

81、＝16.(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.当k＝－7时，(a＋2b)⊥(ka