解析几何的诞生

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1、悖论与危机数学内部的悖论及其产生的危机是促使数学向前发展的催化剂一、三次数学危机1、第一次数学危机（第一次）2、第二次数学危机（第二次）3、第三次数学危机（第三次）二、绘画悖论1、不可能图形（图形）2、不可能建筑（建筑）三、关于数的悖论1、奇怪的遗嘱（财产分配）2、一块钱哪去了？（一块钱）3、无可奈何的汽车司机（相对关系）4、选举悖论）（等又不等）四、几何学悖论1、绕着一个姑娘转圈（转圈）2、兰迪先生的奇异地毯（地毯）3、可内外翻剥的奇妙轮胎（拓扑）五、逻辑学悖论1、克里特人伊壁孟德说谎（自相矛盾）2、一句话和他

2、的反话（同时错误）六、古希腊悖论1、二分法悖论（二分法）2、阿基里斯追龟悖论（追龟）3、飞矢不动悖论（飞矢不动）第一次数学危机第一次数学危机是由不能写成两个整数之比引发的。这一危机发生在公元前5世纪，危机来源于：当时认为所有的数都能表示为整数比，但突然发现不能表为整数比。其实质是是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，要添加无理数。当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了是无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几何

3、的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何原本》中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数理论的建立。（图1）第二次数学危机贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？贝克莱还讽刺挖苦说：即然和都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。这就是著名的“贝克莱悖论”。第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，

4、逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，建立数学分析（或者说微积分）基础的“逻辑顺序”是：实数理论—极限理—微积分。而“历史顺序”则正好相反。无穷小量就是零无穷小量不是零，是很小的量无穷小量是量的鬼魂无穷级数是矛盾的1-1+1-1+1-……=01-1+1-1+1-……=1（图2）第三次数学危机罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不

5、应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论”加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”、“一切属于自身的集合”这样的集合。第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓”、恶性循环的错误。以上事实告诉我们，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的思维，所以一旦遇到无穷时，要格

6、外地小心；而高等数学则是经常与无穷打交道的。现在的数学已经达到了绝对的严格宇宙是不存在的。——罗素悖论1902（图3）不可能图形艺术家将悖论直观化、形象化。绘画悖论作品从局部看都很合理，从整体看却不可能存在。（图4）（图5）（图6）（图7）不可能建筑荷兰埃舍尔的《景观楼》从局部看很合理，从整体不合理。日本福田繁雄还幽默地作了一次实践，结果从正面拍照，还像那么回事，可是侧面一看，矛盾就暴露无疑了。（图8）（图9）（图10）这个人永远都在向上走，却又会回到原地（图11）下面是埃舍尔的《瀑布》，乍看渠道畅通，水流正常，

7、但仔细审看，难道水可以永无休止地循环流动吗？（图12）奇怪的遗嘱一个富有的律师拥有11辆古董汽车，每辆值5000美元。（图13）律师死时留下了一个奇怪的遗嘱。他说他的11辆古董汽车分给他的三个儿子。把其中的一半分给长子，1/4分给次子，1/6分给小儿子。（图14）大家都感到迷惑不解。11辆汽车怎么能分成相等的两份？或分成4份？6份？（图15）他的儿子们正在为怎么个分法争论不休时，林小姐——一位著名的数学家驾着她的新式赛车来了。林小姐：好啊，小伙子们。你们好像碰到了难题。我能帮点忙吗？（图16）小伙子们向她诉说了原

8、委，林小姐便把她的赛车停在11辆古董汽车旁边，下了车。林小姐：小伙子们，说说看，这里有几辆车？M：那些小伙子一数，有12辆。（图17）这时，林小姐便履行遗嘱。她把这些汽车的一半，6辆给了老大。老二得到12辆的1/4，即3辆。小儿子得到12辆的1/6，即2辆。林小姐：6加3加2正好是11。所以，还余下1辆，这正是我的车。（图18）一块钱哪里去了？一个唱片商店里。卖30张老式