第6章 解析几何的诞生

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1、第6章数学的转折点——解析几何的诞生欧几里得与他的《几何原本》阿波罗尼奥斯与《圆锥曲线》从常量数学到变量数学初等数学—研究对象为以静止观点研究问题.常量,高等数学—研究对象为运动和辩证法进入了数学.变量,阿波罗尼奥斯特点：静态几何没有把圆锥曲线看成运动轨迹，更没有给它以一般的方法表示.阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论:圆椭圆抛物线双曲线直角圆锥截线锐角圆锥截线钝角圆锥截线（抛物线）（椭圆）（等轴双曲线）希腊学者梅内赫莫斯(阿波罗尼奥斯之前):变量数学的早期形式1）阿喀琉斯问题阿喀琉斯与一只领先的乌龟，不论阿喀琉斯跑的多么快，他永远也追不上那只乌龟。2）二

2、分说“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。3）刘徽的“割圆术”6.1解析几何产生的背景16-17世纪，一系列重大的发明为数学和科学的发展扫清了障碍，数学思想进入了一个新阶段.首先，从印度—阿拉伯数码的产生，到系统的采用数学符号，以及代数和分析等学科的发展，为解析几何产生创造了条件；(例如：三次、四次方程的求解与符号代数是两个主要的成就)6.1解析几何产生的背景其次，数学家对圆锥曲线的认识，从最初看作是从不同角度截圆锥体而得到的曲线，到把曲线看成是物体运动的轨迹

3、.例如：开普勒提出了行星运动三大规律椭圆定律：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上.伽利略明确指出各抛射物体的运动轨迹是抛物线.6.2笛卡尔和他的《几何学》法国科学家、哲学家,数学家.1596年3月13日，生于法国西部的希列塔尼半岛上的图朗城，3天后，母亲去世，从小便失去母亲的笛卡儿一直体弱多病。1649年10月，勒内.笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂娜的邀请来到瑞典首都斯德哥尔摩，为这位19岁的姑娘讲授哲学和数学，很遗憾由于笛卡儿对女王的生活习惯不适应，加上严寒冬天的威胁，这位伟大的数学家、物理学家和哲学家病倒了。1650年2月11日，

4、这位科学巨人与世长辞了。笛卡儿(1596-1650)著作：1637年发表《方法论》，并附有一篇《几何学》的附录.《几何学》所阐述的思想，被弥尔称作“精密科学进步中最伟大的一步”笛卡儿的理论以两个观念为基础：坐标观念和利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线．作出的图像.笛卡尔的《几何学》共分三个部分：第一部分包括对一些代数式作几何的原则解释，在这一部分中，笛卡儿把几何算术化了：在一条给定直线上标出x，在与该轴成固定角的线上标出y，并作出满足对应关系式的点.相当于建立坐标系（斜坐标系、没有y轴和负数）第二部分讨论了帕普斯问题：

5、设给定的线段是AG、GH、EF和AD.从点P引四条线与已知线交于已知角，且，求P的轨迹.由几何意义得：已知量任取一个x,对应一个y,所以该方程对应P点的轨迹.意义：通过建立斜坐标系，把几何曲线表示成代数方程，然后通过研究代数方程来揭示曲线的性质.第三部分涉及高于二次方程的解法，指出了方程可能有和它的次数一样多的根.在他的《几何学》中第一次出现变量与函数的思想．笛卡儿所谓的变量，是指具有变化长度而不变方向的线段，还指连续经过坐标轴上所有点的数字变量．笛卡儿的功绩是把数学中两个研究对象“形”与“数”统一起来，并在数学中引入“变量”，完成了数学史上一项

6、划时代的变革.6.2费马和他的解析几何费马是法国数学家，1601年8月出生于生活在富裕舒适的环境中．费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响．直到14岁时，费马才入校学习，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律.在数学方面，《数学论集》是费马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的．费马的数学研究成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完全是个人的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进的步伐.费马在研究阿波罗尼奥斯著作时发现，如果通过坐标系把代数用于几何，轨迹的研究就易

7、于进行.他定义了以下曲线：直线方程为：b=d=(a¡x)=y；椭圆方程为：a2¡x2=ky2；双曲线方程为：xy=k2;a2+x2=ky2；抛物线方程为：x2=ay;y2=ax．后来又写了一篇短文《平面与立体轨迹引论》(1629年表)，提出了一个很重要的命题：两个未知量决定一个方程式，对应着一条轨迹可以描绘一条直线或曲线．1643年他又在一封信中描述了三维解析几何的思想．费马关于曲线的工作1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》，他用代数方法对该书的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆

8、锥曲线论进行了总结和整理.并于1629年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》（即研究“点”在平面和立体空间中运动划出的“轨