高等几何与解析几何的诞生

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1、高等几何与解析几何的诞生 所有科学，包括逻辑和数学在内，都是有关时代的函数。——E.H.Moore   中世纪的欧洲，历史上称为黑暗时代。战乱频繁，经济落后，生产水平十分低下。及至宗教的禁锢，圣经就是一切，几何学同其它科学一样，处于蒙昧状态。数学工作仅限于翻译和诠释古希腊的部分数学成果，数学发展的中心逐渐转向中国、印度和一些阿拉伯国家。   十五世纪够半夜其实的两个世纪，后世称为欧洲文艺复兴时期。从这时开始，才渐渐打破万马齐喑的局面。经济的复苏和繁荣推动了科学技术的进步，产生了对数学的强烈需求。作为建筑、绘画理论基础的射影几何开始萌芽；天文和力学的迅猛发展，导致解析几何的

2、诞生。   §1.文艺复兴与影射几何的肇始   文艺复兴的号角首先在意大利吹响。意大利处于地中海北侧，欧洲南沿，海岸曲线曲折蜿蜒，地理位置十分优越。成为当时的东西方商业贸易中心、经济中心和文化交流中心。正如恩格斯在《自然辩证法》一书中所说：“社会一旦有了技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进。”   1492年，意大利人哥仑布（Columbus）发现了新大陆。1542年，哥白尼（Copernicus）出版了著名的《天体运行论》，提出了违反天主教圣经教义的太阳中心说。1590年，意大利的著名科学家伽利略（Galilei）在比萨斜塔上完成了著名的自由落体实验

3、；同时，他把自制的望远镜对准星空，不仅验证了哥白尼的太阳中心说，而且发现太阳有黑子，土星有光环，木星有卫星，真是千姿百态，美不胜收。“从此，自然科学便开始从神学中解放出来。”实现了“人类从来没有经历过的最伟大、最进步的变革。”（引自恩格斯的《自然辩证法》）。   数学方面的进展尽管不能同文学、艺术、建筑和其它科学领域的进展相比美，但也迈出了有创造性的几步。   天资非凡的勒奥拉多·达·芬奇（Leonardo·da·Vinci1452——1519）出生在意大利离佛罗伦萨不远的芬奇（Vinci）城。从1495年起，应米兰大公之邀，用了两年时间，为米兰圣玛丽亚教堂格拉茨分院的墙

4、壁上完成了一幅巨作——《最后的晚餐》。这幅壁画描绘耶稣同他的门徒的秘密会见，当耶稣讲完“你们中间有一个人出卖了我”后的一瞬间。耶稣的神情庄重而安详，智慧而忧伤，一副听天由命姿态，使他无论在画中还是在观众心中都是注目的焦点。十二个门徒，十二种气质，十二张脸谱，有条不紊地安排在画中心耶稣的两旁。不，不是脸谱，而是由于听到老师可怕的话而像人那样感到痛苦的面孔。   《最后的晚餐》不仅是艺术史上的旷世杰作，而且严格地按照透视法原理构图，在摄影几何史中有着重要地位。   达·芬奇不是第一个熟谙透视，甚至集合对绘画的指导作用的人。在他前后，布鲁内希、阿尔贝蒂、弗朗瑟斯卡、丢勒等对透视

5、法都很有研究。然而，只有达·芬奇能够最确切、最形象地阐述透视原理的基本思想，并且通过《最后的晚餐》及其他作品天才地实践这些思想。   由于自然界中的物体都是立体的，而画家都只能使用画布或墙壁这样的平面作画。因此，他考虑，必须让画在平面上的物体具有凹凸不平的立体感，或者说是画幅和被画的对象对观众产生同样的印象，这就得探讨人的视觉规律。   为此目的，达·芬奇写了《绘画专论》一书，书中称透视法是“绘画的舵轮和准绳。”其中有句名言：“观点是存在于观者的眼睛的。”他建议画一只眼睛所能看到的景物。从景物的每一个能看到的点出发的光线能进入人的眼睛，经过瞳孔的折射，最后在视网膜上形成物

6、体的印象。现在假定在人的眼睛与景物之间放一片透明薄膜，从能看到的点进入眼睛的每一条光线，都穿过这张薄膜上的一点。所有这些点的集合形成了景物在薄膜上的象。这个这一过程，几何上称为中心射影。人眼所在的S点称为射影中心，象点称为射影。通过中心射影所建立起来的景物同它的摄影之间的一一对应称为透视对应，简称透视。研究同一种物体的不同射影之间的共同性质和数量关系的几何学，称为射影几何。   回到《最后的晚餐》的画面，观众能看到的，发生所画事件的房间中的每一个点，对应着画面上的一个定点。房间中的每一条线段（桌子边缘、窗户边缘等），对应着画面上的一条线段。但是房间中的相等线段，画在画面上

7、不一定再相等，某些角也一样，发生了变化。比如房间的天花板是矩形的，画面上都成了梯形。更为突出的是，原物中墙壁与天花板的两条交线是平行的，而画面上的对应直线的延长线却交于一点。实际上，交于耶稣的头象处，这就使画面上的主要人物——耶稣基督，处于一个突出的、值得强调的核心位置上，产生感人心脾的艺术效果。   不过，透视理论的发展，从萌芽到成为专门的学科——射影几何。前后经历了三百年。只有像达·芬奇这样兼具艺术家的气质、工程师的才干和数学家头脑的天才，才能冲破中世纪万马齐喑的局面，开除文艺复兴时代几何学的一朵艳丽之花。   达·芬奇的