齐民友高数下册上课第09章01_02多元函数微分法及其应用(1)

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1、第9章多元函数微分法及其应用第9章多元函数微分法及其应用本章讨论多元函数的微分学．多元函数的基本概念、理论和方法与一元函数中的概念、理论、方法有很多相似之处．只是由于自变量的增加，而使问题变得多样和复杂些．我们将着重以二元函数为例讨论多元函数．其理由有二：（1）从一元函数到二元函数，在内容和方法上会有一些实质性的差别和变化，而从二元函数到三元函数乃至一般的元函数，只是形式上的不同，没有本质的区别，掌握了二元函数的相关理论和方法后，很容易将其推广到一般的多元函数中去；（2）二元函数有直观几何帮助思考，而多于二元的函数再也没有

2、直观几何。我们必须时时注意多元函数与一元函数有哪些相似之处和哪些本质差别。熟练二元，推广到元。本章必需上册一元函数的极限、连续与间断、导数、微分基础知识和求导方法．请同学们务必认真复习。-89-第9章多元函数微分法及其应用第1节多元函数的基本概念1.1　点集我们知道，数轴上的点与实数一一对应，直角坐标系下，平面上的点与二元坐标一一对应，空间中的点与三元坐标一一对应。数轴是，称为1维空间；平面是，称为2维空间；空间是，称为3维空间．表示全体元坐标的集合，即，称为维空间，其中每个元坐标都称为一个（维）点．我们把维向量也写为。表

3、示维点还是维向量，要看上下文。两个维向量相加（减）还是对应坐标相加（减）；数乘维向量还是乘遍每个坐标。维空间的两点，间的距离为，称为维向量的模．-89-第9章多元函数微分法及其应用1.2　邻域设。点集称为点的圆邻域。是以点为中心，为半径，去掉圆周的圆盘．点集称为的去心圆邻域．点集称为点的方邻域．点集称为的去心方邻域．推广到维空间：设。点的圆邻域；的去心圆邻域：；的方邻域：；的去心方邻域：．容易看出，点的任一圆邻域一定包含某个方邻域；反之，任一个方邻域也一定包含一个圆邻域．通常说邻域是指的圆邻域．-89-第9章多元函数微分法

4、及其应用思考题：1．集合与,是否相同？（见右图。）。-89-第9章多元函数微分法及其应用-89-第9章多元函数微分法及其应用1.3　内点、外点、边界点、聚点我们来考察点与点集的关系．设。-89-第9章多元函数微分法及其应用观察右图，看看点有什么不同的本质。1．点：若存在点的某邻域使。这样的点称为点集的内点．的全部内点构成的集合记为或．-89-第9章多元函数微分法及其应用2．点：存在点的某邻域使。这样的点称为点集的外点．3．点：在点的任一邻域内，既有属于的点，又有不属于的点，即：。这样的点称为点集E的边界点．点集的全体边界点

5、的集合称为的边界，记为．4．聚点：若的任一去心邻域内，总含有属于集合的点，即，，则称点P为点集的聚点．的全部聚点记为．5．孤立点：若，且不是的聚点，即存在P的某邻域，使，则称点P为的孤立点．显然有：；，且右端三个集合互不相交．集合的内点必是聚点，外点一定不是聚点；而边界点可能是聚点，也可能不是聚点；孤立点一定是边界点，非孤立点的边界点一定是聚点．例如，。若，则P为E的内点；若或，则P为的边界点，也是聚点；但为的孤立点、边界点，不是聚点．以上全部内容都可推广到维空间。1.4　区域、闭区域观察右图，看看点集有什么不同的本质。-

6、89-第9章多元函数微分法及其应用１．点集：的点都是的内点。这样的点集称为开集．２．点集：的余集（）是（中的）开集。即包含自己的全部聚点。这样的点集称为闭集．-89-第9章多元函数微分法及其应用称集合的全部聚点}为集合的闭包．-89-第9章多元函数微分法及其应用２．点集：不开不闭．例如：为中闭集，为中开集，既不是中开集，也不是中闭集．关于开集和闭集，有如下结论．定理1.1(1)空集与全集是开集；任意多个开集之并为开集；有限多个开集之交为开集．(2)空集与全集是闭集；有限多个闭集之并为闭集；任意多个闭集之交为闭集．3．有界集

7、：设。若存在一定点又存在，使得，有，则称是有界集，否则称是无界集．有界集可以包含在某个大圆盘内，无界集则不可以。-89-第9章多元函数微分法及其应用4．区域：设D是中的一个开集，如果对D中的任意两点P1,P2，都可-89-第9章多元函数微分法及其应用用D内的一条折线(由有限条直线段连接起来的连续曲线)将P1与P2连接起来，则称D是一个连通的开集．连通的开集称为开区域，简称为区域．如果区域D中的任一条闭曲线所包围的点都属于D，则称区域D为单连通区域，否则称D为复连通区域．5．闭区域：区域与它的边界一起所构成的集合，称为闭区域

8、．连通不连通单连通复连通-89-第9章多元函数微分法及其应用如：是闭区域；是开区域；是闭集，但不是闭区域；是开集，但不是开区域．思考题：2．无限多个开集之交是否一定为开集；无限多个闭集之并是否一定为闭集．（不一定。例如，。）3．设，试指出其边界点及聚点．（边界；聚点集。）以上全部内容都可推广到维空间。-