齐民友高数下册上课第09章05_06多元函数的高阶导数.doc

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1、第5节多元函数的高阶偏导数对于一元函数，一阶导函数的导数称为原来函数的二阶导数；阶导函数的导数称为原来函数的阶导数。对于多元函数，也可类似地定义高阶偏导数．设在区域内可偏导，其偏导数,仍是的二元函数，仍可以考虑求它们的偏导数称为原来函数的二阶偏导数．分别记作，或，；，或，；，或，；，或，．其中也称为函数关于的二阶混合偏导数．（符号游戏）一般地，阶偏导函数的（偏）导数称为原来函数的阶（偏）导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．思考题：1．与是否相同？与是否相同？（完全不一样！）【例5.1】设，求的所

2、有二阶偏导数．解　，　，，；；．（请注意：此题中）【例5.2】设．证明：．,均二阶可导,为常数．解　令，，则有，　　，，，从而有　．【例5.3】设，求，．解　时，有，，时，有，，．不存在．在例5.1中，在例5.3中，不存在，这说明，在某些情况下，二阶混合偏导与求导次序无关，而在某些情况下，二阶混合偏导与求导次序有关．那么在什么情况下，二阶混合偏导与求导次序无关呢？定理5.1　如果函数的二阶混合偏导函数，在处连续，则．证　令设，，则有，或，由一元函数的中值定理及关于的偏导函数存在，得又关于的偏导数存在，则由

3、中值定理得，，同理，　，即有　，因为　,在是连续，故，所以，．高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导次序无关．该结论可以推广到一般多元函数的高阶混合偏导数．定理5.n　如果函数的相应混合偏导函数在处连续，则在处的混合偏导数与求导次序无关．（如果求导次序无关，我们就不用计较求导次序了。）【例5.4】设，求的二阶偏导数．解,,,，，，，，．,,．复合函数求高阶偏导数：先求有关较低阶偏导函数，再对较低阶偏导函数求导得到较高阶偏导数。遇到低阶偏导函数求导时也要先画出它的函数图。幸好，各阶偏导函数的复合结构与原

4、来函数的复合结构是一样的，因此，各阶偏导函数的函数图与原来函数的函数图是一样的。例如，在的函数图中把换成就得到的函数图。【例5.5】设，，，，，有二阶连续偏导数，求，，．解　函数图，，．注意此时仍是二元复合函数，仍然有函数图，，故有引用前面给出的记号，，，，，，有　　．（注意到，求导次序无关。）同理可得　　　　　　　，．(测)【例5.6】设，有二阶连续偏导数，求的二阶偏导数．解　令，，则。函数图，，的函数图，，，，　，．思考题：2．设，则，，此解法是否正确？（第二式不对。应该是，）习题9-5A类1．求下列

5、函数的二阶偏导数．(1)；　(2)；(3)；(4)；(5)；　(6)．2．设具有连续的二阶偏导数，求下列函数的高阶偏导数．(1)，求，；*(2)，求，，，；(3)，求，；(4)，，求，，；(5)，求，；*(6)，求，，，．解（3）3．设，求．*4．设函数，证明满足拉普拉斯方程式．5．设变换可将方程化为，求实数．6．设，其中，有连续的二阶偏导数．试证：．B类1．设，求的二阶偏导数．*2．证明：函数满足热传导方程．*3．证明：若函数满足拉普拉斯方程，则函数也满足拉普拉斯方程．4．设，其中有二阶连续偏导数，有一

6、阶连续偏导数．试证：．解故。*5．求方程满足条件，的解．6．设,,有二阶连续偏导数，,为常数，(1)求；　　*(2)当，且时，求．7．引入新的函数，选择适当的,，化简方程．第6节　隐函数的求导法则在中学我们知道，一个方程解出一个未知数，两、三个方程分别解出两、三个未知数。因此，一个方程解出一个隐函数，个方程解出个隐函数。这一节我们讨论：(1)在什么条件下，方程或能确定一个或个连续、可导、可微的隐函数？(2)怎样求或确定的隐函数的导数？第（1）个问题我们不太在意。我们的重点在第（2）个问题（考点）。对于方程

7、组情形，课本使用了雅可比行列式。我们勿略困难、易错的雅可比行列式，只学方法。设是确定的隐函数；是确定的隐函数，则，。恒等式当然可以两边求导。求隐函数一阶导数方法：（1）把看作隐函数，则是恒等式；（2）恒等式两边对求导（注意：中有）得恒等式；（3）从恒等式解出。（1）看作隐函数，则是个恒等式；（2）个恒等式两边对求导（注意：中都有）得恒等式；（3）把当作未知解方程组即得到要求的。求隐函数高阶导数方法有：（1）恒等式两边对求导得含的恒等式，再把解出且代入；（2）由，，再把代入即得。（1）恒等式两边对求导得含的

8、恒等式，再把解出且代入；（2）由再对求导即得（代入）。更高阶的导数类似。我们应当反复练熟这套方法。6.1一个方程的情形定理6.1(一元隐函数存在定理)设二元函数满足条件：,，且在点的某邻域内有连续偏导数，则方程在的某一邻域中唯一确定了一个具有连续导数的函数，它满足及，且．(6.1)②定理的结论只是在满足条件的点的某邻域内成立．例如：方程（黑板解释）．【例6.1】　验证方程在点的某邻域内能唯一地确定一个连续可导函数，并求．解　，