齐民友高数下册上课第09章08多元函数微分学的几何应用(1)

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1、第1章集合第8节　多元函数微分学的几何应用（考点）8.1空间曲线的切线与法平面在空间解析几何中，空间曲线一般用两种方式来表示，参数式方程和一般式方程．下面我们分别探求这两种情形时曲线的切线及法平面方程．1参数式方程表示的曲线的切线和法平面设空间曲线的方程为：，．　　　　　　　　(8.1)并假定(8.1)式的三个函数都在上可导．若记，则曲线的参数方程可写为：　　　　　　　　　　　　(8.2)当均在上连续时，曲线是一条连续曲线．给定下面设存在且不同时为零。设，为曲线上对应于参量，的两个点（；）。曲线上过割线的方向向量为：割线方程　　　(8.3)当点沿曲线趋近于时，即当

2、时，割线的极限位置是曲线在处的切线．故当时割线方向向量的极限向量是在点切线的方向向量，称为曲线在处的切向量，故曲线在处的切线方程为：　　　　　　　　　　　(8.4)若中有个别为零，则按空间解析几何中对称式方程的说明来理解．15第1章集合过点且与其切线垂直的平面（过点且与处的切线垂直的所有直线都在此平面上），称为曲线在点处的法平面．法平面方程为．　　　　　　(8.5)总结：曲线在点的（1）切向量：；（2）切线：；（3）法平面：。关键是求出切向量。15第1章集合【例8.1】求曲线，，在点处的切线和法平面．解　因为，，，又由方程知，在点处，对应于，所以切线的方向向量为．

3、故曲线在处的切线方程为：，法平面方程为：，即．【例8.2】若曲线在任一点的法平面都过原点，试证明：此曲线必在以原点为球心的球面上．证　任取曲线上的点，则在点处的法平面方程为．因为原点在法平面上，故有，此方程等价于方程，故有，（必，因为是存在的。）上述方程表示以原点为球心，为半径的球面，而曲线上的任一点满足此方程，故曲线在此球面上．若空间曲线的方程为：，，，取为参数，则曲线方程为：，，，．若，在处可导，则曲线在处的切线向量为：，故切线方程为：，法平面方程为：．（如果或呢？）【例8.3】求曲线在点处的切线和法平面方程．解　取为参数，则曲线的参数方程为：．在处的切向量为

4、，故曲线在处的切线方程为：．法平面方程为：，即　．2一般方程形式表示的曲线的切线和法平面方程15第1章集合设曲线的方程为，在点的某邻域内，，连续可微，在点的某邻域内能惟一地确定隐函数组，。则其参数方程为，因而在点处的切向量为，切线方程为：，法平面为：。其中，由隐函数的导数即解方程组得到。【例8.4】求曲线上点处的切线和法平面方程．解　把看作的函数，两边对求导有把代入得解得切向量：；切线：；法平面：。15第1章集合思考题：1．若曲线上任一点的切线向量为（a为常数），则此曲线是一条什么曲线？若其任一点的切线向量为（为常数）呢？（，平行于轴的直线。，面上的一条直线。）1

5、5第1章集合8.2曲面的切平面与法线设为空间的一张曲面，其方程为，为曲面上一点．设．在曲面上任意作一条过的光滑曲线（图8.1），设其参数方程为且。则有．此恒等式两边关于求导，并令，有，图8.1记，则有即．其中是一个固定的常向量，而是在点的切向量也即在点的切向量。由于是任意的，是任意的。结论：在点的任意切向量都垂直于固定的常向量。因此：是在点的切平面的法向量。曲面在点处的切平面方程为，过点且以法向量为方向向量的直线称为曲面在处的法线，其方程为．总结：在点的（1）法向量：；（2）切平面：；（3）法线：。关键是求出法向量。15第1章集合当看作数量场时，既是在点的梯度同时

6、也是其过点的等量面的法向量。因为梯度方向是数量场增加最快的方向，因此在点沿等量面的法向量方向增加最快．【例8.5】求曲面在点处的切平面和法线．解　设，则，故所求切平面方程为：，即．法线方程为：，即　．若曲面方程为，且可微．令，则有，，。故曲面在点处的法向量切平面，法线：．如果令，则得向上的法向量，而是向下的法向量。【例8.6】求曲面在点处的切平面和法线方程．解　设，　，　，故曲面在的法向量为　，切平面方程为：，即　；15第1章集合法线方程为：　．15第1章集合我们知道，曲面上点处的切平面方程为：，曲面上点处的切平面方程为：，从而若曲线的方程为，则上点处的切线实际上

7、是上面两个切平面的交线，即(8.7)请与(8.6)的结果进行比较，并以此方法重解例8.4．【例8.4】求曲线上点处的切线和法平面方程．解　。切线：；切向量：法平面：。15第1章集合下面简单介绍由参数方程形式表示的曲面的切平面的求法.设曲面的方程为：,,，(为平面内的区域）．为曲面上的一点，，,，在包含点的某邻域内有连续的偏导数。假设由解出，代入得。，。法向量：。其中由方程组解出。有了法向量就很容易写出切平面和法线的方程。【例8.7】设曲面的方程为，，，求在参数，处，，曲面的切平面方程及法线方程．解　易得，，，，，．解方程组得。法向量：；切平面：即；法线：。15第1

8、章集合习题